CHAPITRE II

Théorie analytique de la ligne droite dans l'espace.

134. Nous devons d'abord établir la plus simple forme générale des équations de la ligne droite. Or, parmi l'infinité d'intersections de surfaces propres à produire cette ligne, la plus convenable, sous le double aspect géométrique et analytique, doit évidemment consister dans la combinaison de deux plans. Mais ce mode spontané semble d'abord présenter, à cet égard, une sorte de cercle vicieux, puisque la formation générale de l'équation du plan suppose, à son tour, la représentation analytique de la ligne droite, comme l'expliquera spécialement le chapitre suivant. La seule issue régulière d'une

LVV *

telle difficulté élémentaire résulte d'un choix judicieux entre les divers plans qui contiennent une même droite, en préférant deux de ceux qui sont parallèles aux axes coordonnés, et dont Téquation doit, à ce titre, suivant nos explications fondamentales., être indépendante de la variable correspondante , de manière à coïncider avec l'équation plane de la projection de la ligne sur le plan des deux autres axes. On voit que ce système n'est autre que celui des deux cylindres projetants, qui, toujours destiné à caractériser finalement cha'que ligne, est rarement le plus propre & former ses équations initiales: c'est peut-être ici le seul cas important où ce mode doive être, à cet égard, préféré à tout autre. Si, par exemple, on projette successivement la droite parallèlement aux deux axes horizontaux, on aura aussitôt les deux équations fondamentales

az + OL et y = bz -^ S^

dont l'ensemble constitue le plus simple type général qui puisse analytiquement représenter une ligne droite dans l'espace, et au quel tous les autres modes analytiques seront nécessairement réductibles d'après les transformations convenables.

Ce type devant devenir aussi usuel que celui qui lui correspond en géométrie plane, il importe de se familiariser beaucoup avec la signification concrète des quatre constantes arbitraires a, b^ a, 6, qu'il contient. D'abord le nombre de ces paramètres, deux fois plus multipliés que dans le cas plan, représente toujours, mais d'une nouvelle manière, le nombre des points qu'exige la détermination de la droite : car, d'après la dualité actuelle des équations de toute ligne, chaque passage en un point donné fournit maintenant deux relations entre les constantes qui s'y rapportent, et dont le nombre devait par conséquent devenir double de celui des points déterminants. Le même contraste analytique aura lieu nécessairement envers

toute autre ligne susceptible d'être alternativement considérée sur un plan et dans Tespace, le nombre total des paramètres y devant généralement être doublé pour le second cas, afin de maintenir la fixité du caractère géométrique relatif à la détermination.

Ensecondlieu, laloi d'homogénéité indiquerait suffisamment que deux de ces quatre constantes, a eib, sont nécessairement angulaires, tandis que les deux autres, a et 6, sont linéaires, si déjà la géométrie plane n'avait rendu très-familière cette indispensable distinction élémentaire. Quant à l'interprétation géométrique de ces divers paramètres , nos habitudes antérieures ne l'indiquent nettement qu'envers les projections respectives, d'où il faut indirectement remonter à la droite elle-même. Toutefois, cette dernière relation peut aisément devenir directe à l'égard des coefficients linéaires a, 6, qui désignent évidemment les coordonnées de la trace horizontale de la droite proposée. Mais, pour les coefficients angulaires a, &, il faut se borner à concevoir chacun d'eux comme la tangente de l'angle formé par la projection correspondanteavec l'axe vertical, ou, qi Ton veut, par le plan projetant avec l'autre plan vertical des coordonnées. La direction même de la droite dans l'espace dépend nécessairement à la fois de ces deux constantes^ suivant une loi très-simple, qui sera ci- dessous expliquée, et dont l'inversion permettra d'ailleurs de se les représenter commodément d'après cette direction.

De même qu'en géométrie plane, la théorie analytique de la ligne droite doit ici consister essentiellement à déterminer ces quatre paramètres quand, sans être immédiatement donnés, ils doivent résulter de certaines conditions élémentaires, dont l'expression est assez usuelle pour mériter qu'on la formule d'avance, et qui d'ailleurs coïncident exactement avec celles déjà appréciées pour le cas plan.

GÉOfiÉTRlE DANS l'eSPAGË.

135. Sous l'un et Tautre aspect, il faut d*abord former les équations d'une droite assujettieàpasserpar deux points donnés. Le premier passage fournira les deux relations^' ça^rz' -|- * ^^ y'= éz' +^ï cpii, permettant de rapporter les coefficients linéaires aux angulaires, conduiront au type

aussi usuel qu'en géométrie plane pour représenter toutes les droites menées d'un même point. En ayant égard au second passage, on y déterminera finalement les constantes angulaires par les formules

identiques à celles du cas plan, et dès lors susceptibles de la même explication trigonométrique, puisque chaque projection verticale de la droite cherchée contient nécessairement les projections correspondantes des deux points donnés.

D'après ce premier problème, quand de nouveaux points de l'espace devront ètreen ligne droite avec les deux premiers, chacun d'eux, comparé à l'un de ceux-ci, fera naître analytiquement deux conditions, consistant toujoursdans unedouble proportionnalité entre les différences respectives des trois coordonnées de tous deux.

Considéronsmaintenantla seconde question essentielle, relative à la détermination analytique de l'angle de deux droites dans l'espace. Par sa nature, une telle recherche est, comme en géométrie plane, nécessairement trigonométrique, d'après son évidente spécialité : seulement elle offre ici plus d'embarras, parce queles angles donnés n'y sont pas, à beaucoup près, aussi simplement liés à l'angle demandé. Commeil doit d'ailleurs demeurer indépendant des coefficients linéaires, nous pourrons remplacer les deux droites données par leurs parallèles menées

de rorigine, sans considérer, du reste, si les lignes primitives se rencontrentou non,cequin*affecte nullementleurinclioaison mutuelle, toujours également indispensable à mesurer. D'après ce préambule, la solution trigonométrique consiste à considérer, sur les deux droites données, a^=aj5, y^^bz^ei x^=^z^ ifMs^VZy deux points arbitraires, dont les ordonnées verticales, z et z' resteront quelconques, et à résoudre, par rapport à Tangle cherché, le triangle ainsi résulté de trois côtés aisément appréciables par la formule des distances. Les indéterminées auxiliaires z^iz' devant s'éliminer spontanément à la fin du calcul, pour que la grandeur de Tangle ne dépende pas de la longueur de ses côtés, on évitera commodément d'en surcharger les opérations, si on use du droit évident de les choisir égales entre elles et à l'unité. On sait que la formule trigonométrique

convenable est ici

^, rf>+rf'a— D»

en nommant d, d\ et D lesdistances des deux points artificiels à l'origine et entre eux, lesquelles sont exprimées, d'après les coordonnées respectives 1, a, 6 et 1, a' b\ par

Il en résulte aussitôt la formule cherchée,

aa'^bb'+i

cosV

qui mérite d'être retenue comme éminemment usuelle.

En faisant successivement coïncider la seconde droite avec chacun des trois axes coordonnés, on en déduit aisément les formules spéciales

cosZ=» — . C03Y= — — . cosX=» —

v/a»+6«+l y/a^-j-fta-^i y/a^^b^^i

fj»^-

Té:

pour les inclinaisons de la première sur ces axes. Ces trois angles ne sauraient être indépendants entre eux, puisque, en général, deux angles quelconques déterminent suffisamment une direction. De telles formules l'indiquent assez en ne faisant dépendre les trois inclinaisons que des deux données a et 6, dont Télimination y fera découvrir leur relation constante.On aperçoit aussitôt que cette élimination s^accomplira spontanément en ajoutantles carrés de ces trois égalités, d'où résulte le théorème

très-usuel

cos» X+ cos« Y + cos» Z = 1,

ou, sous une forme moins connue, mais utile à noter aussi,

sin» X + sin» Y + sin» Z = 2.

Au reste, ces deux énoncés algébriques peuventêtre succinctement réunis en un seul énoncé vulgaire : la somme des carrés des cosinus ou des sinus des angles formés par une droite quelconque avec trois axes rectangulaires est nécessairement constante. Il y aurait, en effet, un vrai pléonasme logique à mentionner expressément la double valeur de cette constante, évidemment indiquée, en chaque cas, par la coïncidence de la droite avec Tun des axes. Cette liaison remarquable, directement appréciée, constitué d'ailleurs, sous sa première forme, une suite peu éloignée du théorème fondamental de Pythagore. En effet, il suffit de considérer le cosinus d'un angle comme la projection d'un de ses côtés, dont la longueur serait égale au rayon trigonométrique 1, sur l'autre côté : dès lors, les trois cosinus proposés représententlesprojections de la droitedonnée sur les trois axes proposés ; ils constituent donc les arêtes d'un parallélipipède rectangle dont cette droite serait la diagonale ; ce qui conduit aussitôt, par une double application dQ ce théorème, & la relation précédente.

Réciproquement envisagées, les formules ci-dessus permet-

tent d'exprimer les deux coeflicients angulaires d'une droite quelconque d'après ses inclinaisons sur les trois axes rectangulaires, suivant la loi, très-usuelle aussi^ surtout en mécanique,

cos X , cos Y

cos Z* cos Z'

Cette loi fort simple conduit à mettre notre formule* principale de cos Y sous une nouvelle forme très-remarquable, due à Ëuler, en opérant la même transformation envers les deux droites considérées : on trouve ainsi

cos V. = cos X cos X'+ cos Y cos Y'+ cos Z cos Z' ;

ou, en français, le cosinus de Fangle de deux droites équivaut à la somme des produits des cosinus de leurs inclinaisons respectives sur trois axes rectangulaires quelconques.

D'après le problème précédent, il est facile d'apprécier la relation qui doit exister entre les coefficients angulaires de deux droites pour qu'elles forment un angle donné. Il suffit ici de mentionner le cas de leur perpendicularité, ainsi caractérisée par la condition

analogue à celle de la géométrie plane, quoique plus compliquée, mais qui ne peut plus déterminer l'une des directions par l'autre, conformément aux indications géométriques respectives. Toutefois, cette détermination doit exceptionnellement s'accomplir quand on suppose V=0, ou cos V= 1, puisqu'alors il y a parallélisme : l'algèbre exprime cette anomalie en présentant la relation correspondante sous la forme

(a - ay + (6 — b')^ -f {ab' — a'b)^ = 0,

qui, envers les valeurs réelles, se décompose nécessairement

1 ïi

GÉOMÉTRIE DANS L^BSPACE.

en deux conditions, a'=aa, d'^a ft, pleinement conformes à la nature du cas.

Examinons enfin le troisième élément essentiel de la théorie analytique de la ligne droite, en déterminant l'intersection de deux droites d'après leurs équations. Le principe fondamental est ici nécessairement le même qu'en géométrie plane, puisque tout point commun à deux lieux quelconques doit nécessairement satisfaire à leurs équations simultanées, quel qu'en puisse être le nombre. Mais, dans l'espace, l'application normale de ce principe uniforme conduit spontanément à une nouvelle appréciation, qu'il importe de remarquer déjà sur ce premier exemple : car, chaque ligne, droite ou courbe, ayant maintenant deux équations, le nombre des conditions qui doivent déterminer les coordonnées communes est alors doublé, tandis que le nombre de ces inconnues a seulement augmenté de moitié ; en sorte que l'harmonie du problème se trouve désormais rompue, à moins d'une coiicordance spéciale entre l'une des quatre relations et l'ensemble des trois autres, sans laquelle la question serait contradictoire. Or, cette considération analytique correspond, géométriquement, à l'impossibilité actuelle de toute rencontre entre deux lignes quelconques, si elles ne satisfont à une certaine condition mutuelle, consistant, pour deux droites, à appartenir au même plan, et toujours analytiquement représentée par la relation résultée de l'élimination des trois coordonnées communes entre les quatre équations des deux lignes. Cette importante notion de géométrie à trois dimensions aurabientôt un office très-étendu dans lathéoriegénérale des surfaces courbes. En l'appliquant maintenant au seul cas de deux droites quelconques,

a: = a^-)-a, y=6j5 4-^î et a; = a'z-{- a', y = é'^-j-€',

la condition de rencontre est finalement -r-, — - = r; -, ; ou,

en français, les différences respectives des coefficients linéaires doivent être proportionnelles à celles des coefficients angulaires. Quand elle sera remplie, les coordonnées de Tintersection cherchée seront

a'— a aa' — a' ti 6 (a' — a) + 6 (âJ — a') " ;, X^— -7-1 y--— — ^^ -•

en les supposant infinies, on reproduirait les caractères connus du parallélisme, du moins eu égard à la relation préalable. Ces formules ne doivent pas d'ailleurs être retenues : il sera préférable d'en retrouver Téquivalent spécial en chaque occasion.

136. Tels sont, dans Tespace, comme sur un plan^ les seuls éléments vraiment indispensables à la théorie analytique delà ligne droite. Parmi les nombreuses questions composées qui peuvent résulter de la combinaison de ces trois problèmes essentiels, je me bornerai à en examiner deux, analogues à celle déjà considérée en géométrie plane, quoique leurs formules deviennent ici à la fois plus compliquées et moins usuelles : outre Tapplication ultérieure dont elles seront quelquefois susceptibles, elles constitueront maintenant des types sufBsants de ces exercices secondaires, que le lecteur pourrait ensuite multiplier spontanément.

Déterminons d'abord, comme dans le cas plan, la distance d'un point donné (x\y\z')\ une droite donnée

En suivant la même marche qu'alors, il faudra préalablement former les équations de la perpendiculaire correspondante,

a: — a:' = a'(z — «'), y — y' ■=,})' (z — z']^ d'après les deux conditions

452 GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE.

qui expriment qu^elle forme un angle droit avec la ligne donnée et qu'elle la rencontre, conformément aux règles du n*" précédent. Quand ces deux équations du premier degré auront fait connaître a* et h\ on calculera, comme ci-dessus, les coordonnées du pied de la perpendiculaire, et sa distance au point donné en résultera finalement^ suivant la formule ordinaire.

Sans accomplir cette laborieuse combinaison analytique de nos trois questions essentielles, on peut trouver plus commodément l'expression de la longueur cherchée/), par une solution spéciale, fondée sur sa comparaison avec la distance d du point donné à un point quelconque de la droite donnée, par exemple, à sa trace horizontale : car, en nommant V Tinclinaison, aisément appréciable, de cette droite sur cette distance auxiliaire, on aura évidemment /) <= e/ sin Y. On facilitera l'opération en prenant pour origine provisoire le point 0, a, 6, ainsi choisi, sauf à revenir ensuite à l'origine primitive, par le changement final de a; en a: — a et ^ en y — 6. Dans cette hypothèse

oj: + éy -f- s

rfe=iy/ar^ + yï-|- z^ et cos V

d'où il résultera p = \/a^+ y'+ 2* - ^^^^L't^}^' En

développant et réduisant, on trouvera finalement, après avoir rétabli l'ancienne origine, la formule

beaucoup plus compliquée que son analogue plan, mais pourtant asbez symétrique pour être aisément retenue, si elle était assez usuelle pour le mériter. Il convient d'y remarquer que la

distance d'un point à une droite n'est plus, en général, une fonction rationnelle des coordonnées du point, comme en géométrie plane. Un tel caractère est particulier au cas plan, envers lecpiel la loi précédente indique spontanément cette exception spéciale : car, si la droite et le point sont tous deux situés dans le plan des xz^ il y faudra faire ds=>0, g sa 0, et y'ea 0, ce qui y réduira à une seule les trois parties de son numérateur, dès lors devenu un carré parfait, de manière à reproduire exactement la formule p = — =; du n^ 28.

Considérons, en second lieu, la question qui consiste à déterminer la moindre distance de deux droites données. Elle comporte, dans son ensemble, deux solutions fort distinctes, dont le contraste spontané est propre à bien manifester le vrai caractère des méthodes pleinement analytiques en géométrie générale. La première consiste à appliquer analytiquement le principe géométrique qui représente la distance cherchée comme devant se mesurer sur la perpendiculaire commune aux deux droites données, a:=az+ a, j/=ibz+S,eix=a'z-\-oL\ yz=:b'z+&'. D'après cette notion initiale, tout se réduit à former, suivant l'ensemble des règles précédentes, les équations de la droite inconnue, x=a*'z-^fz"ei t/=b"Z'\'^'\ afin de calculer ensuite ses intersections avec les droites proposées, d'où la formule des distances conduira finalement à la longueur demandée. Les deux conditions de rectangularité fourniraient ainsi les relations

aa"-|-W + l=0, a'a"+b'b"+ i=0,

propres à déterminer d'abord a'eib" : dèslors,la doublerencontre déterminera aussi les coefficients linéaires «" et 6", suivant deux autres équations du premier degré

i gëométute: dans l'espace.

a posé, le restedu calcul, quoique très-laborieax, ne pourl offrir aucune difOcul té. On voit que cette première solution . vraiment analytique dans son exécuUon, qoi apprécie isolent chacune des conditions du problème ; mais elle ne l'est int réellement dans son institution, qui repose sur un prine géométrique antérieur, particulier au casde deux droites. Vu contraire, l'ensemble de la seconde soluUon présente un ■act&re pleinement analytique, cl airementmanifestéparnne léralité décisive, qui constitue, à cet égard, le meilleur térium. Nous allons, en effet, y procéder \ la recherche )posée, sans aucune notion géométrique antérieure, sous la lie impulsion de la théorie universelle des minima, et de la <me manière que si, au lieu de deux droites, il s'agissait de nparer, à cet égard, deux courbes quelconques. La marche cette solution analytique consiste h chercher les ordonnées 'ticales, z et z', des deux points les plus rapprochés, d'après condition que la foDction

=- (? - 2')» + {ai- a'z-+{<t— »•))*+ (iï— 6'8' + (6— r))'

-(.6(fi-6'))z+2(a'(«'-«)+ô'{e'-6))z-+(«-«')»+(6-£')», i exprime le carré de leur distance, soit un minimum. Or, tre théorie des minima est directement applicable sans difiilté à ce polynôme du second degré, qui comporterait mSme sage facile de la méthode algébrique la plus élémentaire, lant à la pluralité actuelle des variables indépendantes, elle peut constituer, envers de telles recherches, aucun obstacle idamental ; car, le minimum doit évidemment subsister à gard de chaque variable isolée, quelle que soit la valeur nstante de l'autre. Cette nouvelle institution du problème 1 donc, en général, d'autre intluence naturelle que de

fournir deux conditions, destinées à déterminer les deux inconnues simultanées. Elles se formeront ici en annulant les deux dérivées de ce polynôme séparément relatives h.zeihz\ dont les valeurs dépendront ainsi de deux équations du premier degré,

«Xl + a'^+6'2) — «(aa'+66'+i)=ez'(«— a') + ô\6--6').

Une fois calculées, leur substitution dans la formule primitive de d^ fournira sans difficulté l'expression, d'ailleurs compliquée et inusitée, de la distance cherchée. Puisque les points les plus rapprochés auront été ainsi déterminés préalablement, aucune partie essentielle de la question ne se trouvera négligée. On y pourrait même, à titre de complément alors accessoire, obtenir finalement les équations de la droite suivant laquelle se mesure la moindre distance, et de manière à reconnaître analytiquement sa rectangularité constante envers les deux droites données, si Tesprit général de cette seconde solution conduisait réellement à instituer une telle comparaison , essentiellement propre à un autre mode d'appréciation de Tensemble du problème.

Au sujet de cette question, je dois enfin avertir que, quand on s'y borne à la stricte évaluation de la moindre distance, sans s'occuper de la détermination effective des points correspondants^ cette formule peut résulter d'une troisième solution, mieux calculable, à cet égard, que les deux précédentes, et que j'aurai lieu d'expliquer dans le chapitre suivant.

GëbMÉTRIB DANS l'eSPACE.