CHAPITRE m

Théorie analytique du plan.

équation rectUigne du plan peut d'abord être indjt établie, avec toute la généralité convenable, sans T aucune génération de celte surface, en cherchant, averse, le lieu géométrique de l'équation complfete du legré à trois variables, aa;+iy-|-c2 ■=»(/. En y supconstant, pour étudier les coupes horizontales, =d — ch, on voit aussitAt que ce seront toujours des >ites, parallèles entre elles ; en sorte que ce lieu se ontanément parmi les surfaces cylindriques. Reste couvrir la loi géométrique suivant laquelle varie le t linéaire de cette génératrice, en lui assignant uue quelconque, par exemple l'une des traces verticales ice : or cetLetrace, correspondante à y=0 ou x=0, [nment aussi une ligne droite. Ainsi, l'ensemble de le discussion montre nettement le lieu cherché comme par une droite qui glisse parallèlement sur une autre i qui caractérise irrécusable ment le plan. Toute équaremier degré k trois variables représente donc, en ées rectiiignes, une surface plane, les axes étant rectangulaires ou obliques.

[tenant l'on considère que l'équation précédente renis constantes arbitraires, dont l'entière disponibilité : faire passer son lieu plan par trois points quelconsspace, on concevra, réciproquement, que tout plan

est susceptible d'une pareille équation, dont le lieu pourrait ainsi se confondre complètement avec lui, puisque deux plans coïncident totalement quand ils ont trois points communs non en ligne droite. Nous connaissons donc déjà, indépendamment de la génération du plan, la forme nécessaire de son équation rectiligne.

Dans Tusage de cette équation générale, il convient de réduire habituellement à Tunité Tun des coefficients, afin que leur nombre eSectif soit toujours en pleine harmonie avec celuides points qu'exige la détermination de la surface. Il en résultera deux formes distinctes, qu'il n'est pas inutile de comparer sommairement, selon que cette exception facultative affectera le terme constant ou Tun des termes variables. La première forme a^ + 6y +c-3 = l, offre une plus complète symétrie algébrique, puisque les trois coordonnées y sont semblablement traitées; mais elle est, géométriquement, moins conveiiable, parce que l'interprétation concrète des trois constantes y est trop détournée, et même trop uniforme : car, chacune d'elles est réciproque à la distance de l'origine au point où le plan proposé rencontre l'axe correspondant. Aussi préférerons-nous communément la seconde forme, z=»aX'-{- by-\- c, où la loi d'homogénéité annonce aussitôt que les coefDcients aeib sont angulaires, tandis que c est linéaire, conformément à l'explication spéciale qui montre c comme désignant la distance de l'origine à l'intersection du plan avec l'axe vertical, pendant que a et i indiquent les tangentes des inclinaisons de ses deux traces verticales sur le plan horizontal. Cette distinction spontanée entre les idées de direction et de distance, non moins nécessaire dans la théorie analytique du plan que dans celle de la ligne droite, constitue l'un des motifs principaux en faveur de ce mode usuel ; car, l'autre mode, vu sa trop grande uniformité, mêle vicieusement ces deux sortes d'indications géométriques. 87

s GÉOMÉTBIE DANS L'BSPACE.

138. Ayant ainsi établi l'équaUon générale du plan indépennmenl de sa géaération, il importe d'apprécier comment s peut être directement formée d'après les diverses manières at cette surface résulterait du mouvement d'une ligne droite, oique celte appréciation ne soit pas strictement indispen- >le à ta théorie analytique du plan, réduite à sa vraie desUtion propre, elle offrira spontanément le précieux avantage lactique de familiariser déJiL le lecteur avec la marche fonda- Dt&le, qui, dans la seconde partie de notre étude, devra iger la formation des équations qui représentent les princies familles de surfaces, parmi lesquelles le plan peut iodifammentseranger,en y modifiant convenablement les seules ectrices.

jB premier mode consiste & regarder le plan comme une face cylindrique, ayant pour base une ligne droite. Dans tehypothèse, soient x=az-|-a et y=:6z+S, les équations la génératrice, où a et d seront constants, en vertu du palélisme, tandis que les coefBcients linéaires varieront d'une ition à l'autre, suivant une loi correspondante k la condition rencontre continuelle de celte droite mobile avec la direc-

ie donnée x^^a'z +«', y==b'z+ S'. Cetteloi sr— ^™ r;-— 7,

stitue une sorte d'équation naturelle du lieu cherché entre deux paramètres variables a et 6. Pour en déduire l'équai demandée, il suRlt d'y rapporter ceux-ci aux coordonuées nitivesxr, y, z, d'après les équations de la génératrice. On iendra ainsi une équation qui, convenant à un point quelque de celte droite mobile dans une position quelconque, résentera nécessairement le lieu engendré par son mouveil. Cette substitution de x — az et y — bz, k la place de a , fournira évidemment une équation complète du premier ré, conformément au type ci-dessus démontré. Le nombre

des constantes arbitraires y surpassera notablement celui des coefficients qui en seront formés; ce qui induit à penser que ces six constantes pourraient prendre de nouvelles valeurs, sans que le lieu éprouv&t aucun changement, pourvu que leurs fonctions relatives aux trois coefficients restassent invariables. Or, cette circonstance analytique est spontanément en harmonie avec un certain degré naturel d'indétermination géométrique inhérent à une telle définition du plan : car, la directrice y pourrait d'abord changer, comme envers toute autre surface, à la seule condition d'appartenir au lieu considéré ; mais, en outre, la génératrice elle-même pourrait indifféremment affecter Tune quelconque des directions du plan, par une exception particulière au cas actuel, et que ne sauraient offrir les cylindres curvilignes, où la direction des génératrices est toujours unique.

Considérons, en second lieu, le plan d'après sa génération conique, parle mouvement d'une droite autour d'un point fixe, quand sa directrice devient elle-même rectiligne. Si x\ y\ z% désignent les coordonnées du sommet donné, les équations de la génératrice seront ainsi a:— a:'«=» a'{z-'Z'),y — y '«»= 6' (^— ^') i les coefficients angulaires y étant maintenant variables. Leur relation constante dépendra, comme ci-dessus, de la condition de rencontre perpétuelle de cette droite avec la directrice connue, a: ■= az -+- a, y = 6z -f- 6. Dans cette relation

^ BE= — — -— ; — - il faudra pareillement substituer les

expressions de a' et b' en or, y, z^ tirées des équations de la génératrice, en commençant toutefo)!^ par supprimer les termes communs en a' 6', qui sembleraient élever vicieusement le résultat au second degré. On trouveraencore,suivantce mode, une équation complète du premier degré, où l'excès du nombre des constantes arbitraires sur celui des coefficients qui en sont

I GËOKÉTRŒ DANS L'ESPACB.

nposés reprësentera aussi ce qu'une telle déQniUon reuferme idé terminé géométriquement, soit quant à la directrice, qui irrait y varier sans faire changer le lieu, comme eovers tout re cône, soit même quant au sommet, qui, unique pour cône curviligne, pourrait^ exceptionnellement. Être ici placé nn point quelconque du lien.

envisageons maintenant le plan comme une surface de réution, engendrée par la rotallon d'une droite autour d'un auquel elle demeure constamment perpendiculEÙre en un me point. Si 2',y',a', désignent les coordonnées de ce pôle mé, et X — x''= a (z — z'), y — t/''='b [z — 2), les équations l'axe considéré, la génératrice aura pour équations -x'""0' (z — s'), y — y'= b' (z — JE'), en concevant ses fQcients angulaires variant selon la loi de rectangularité + bb'+l =0, où il suffira de substituer leurs expressions r, y, 2, afin d'obtenir l'équation définitive dn lieu proposé, te équation sera donc

s =■ — (w — Jy + [«' 4- «m;' + *y')-

)ique, collectivement envisagée, elle contienne, sans doute, ime dans les deux modes précédents, plus de constantes ar- 'aires quede coeflicients indéterminés, une appréciation plus mtive montre, au contraire, que l'indétermination corresidante n'affecte alors nullement les deux coefficients engnes, et concerne seulement le coefficient linéaire ; en sorte , parmi les données de cette génération, a et b ue pourint aucunement changer sans altérer le lieu, tandis que y't ^'1 y pourraient indifféremment recevoir une infinité valeurs distinctes, pourvu que la fonction s' +aar'-|- iy' leur&l invariable. Or, toutes ces nuances analytiques t en pleine harmonie avec les indications géométriques, ique l'axe d'un plan ne peut avoir qu'une seule direc-

tion, tandis que le pôle peut être prisa volonté sur la surface. Au sujet de Téquation précédente, il convient de remarquer spécialement la vérification analytique qu'elle offre spontanément d'une uUle proposition géométrique, sur la rectangularité nécessaire entre les projections quelconques d'une droite etles traces correspondantes d'un plan qui lui est perpendiculaire. Car, en comparant, par exemple, la trace

^ = — aa: + (z'+ ax'+ by'),

obtenue en faisant y =0, avec la projection x — a;'=a {z — z') de l'axe sur le plan des xz^ le symptôme ordinaire de géométrie plane montre aussitôt que ces deux lignes sont rectangulaires. La génération précédente se lie naturellement à une quatrième manière d'envisager le plan, qui serait susceptible de conduire directement à l'équation de cette surface, conçue comme le lieu général des points de l'espace équidistants de deux pôles donnés x', y', z' et x", y'\z" ; ce qui fait rentrer le plan dans la sur face également éclairée par deux lumières^ pour le cas particulier de l'égalité. Cette définition fournit aussitôt, d'après la formule des distances, l'équation

[x--xy+{y^yy+{z-zy = [x-xy+{y-^y''Y+{z-z")\

où les termes du second degré se détruisent spontanément, et dont la composition confirmera ensuite aisément que le plan est perpendiculaire sur le milieu de la droite qui joint les deux pôles, conformément à la nature géométrique d'une telle formation, qui pourrait ainsi coïncider immédiatement avec le mode ci-dessus considéré.

Concevons enfin le plan comme une surface réglée ou rectiligne^ sous l'aspect le plus étendu, en le supposant engendré par une droite qui glisse arbitrairement sur deux autres susceptibles d'intersection. Il faut ici remarquer d'abord que le

eÉOMÉTRtB DANS L'BSPACB.

'etnent d'une droite quelconque n'est, en général, soffi- 3ent dé&ni d'après des directrices qu'autant que celles-ci au nombre de trois, sans quoilelieu serait nécessairement 3, la génératrice y pouvant, avec deux directrices seule* , affecter, en chaque point de l'une d'elles, une infinité rectiouB aboutissant à l'autre. Or, par une excepUoQ tout

particulière au plan, cette surface est, an contraire, sufmeat déterminée en faisant mouvoir k volonté une droite eux autres qui se rencontrent, parce qu'une droite qui a

de ses points dans un plan les y a tous. Soient donc

=as+it,y = bz + € et ar = a's + a', y = 6'« + fi',

eux directrices données, entre lesquelles on supposera

ablement la relation nécessaire => -, r : leur dou-

encontre continue avec la génératrice fournira les deux

, et" — a a"— a ,«" — «' c^'^a' liions analoeuesi;; — 3™n; — i^^^. — 3.— tt: — r;. entre

latre paramètres, alors simultanément variables, contenus les équations de celle-ci, jr-^û'a-l-oi", y i=6"z+S", Pour .'ensemble de ces quatre équations permit d'éliminer comment a", b", a", €", de manière & fournir l'équation du une cinquième relation, correspondante & une troisième itrice, serait, en général, indispensable. Mais, par une lalie algébrique, exactement équivalente à l'exception géoique spécialement signalée envers le plan, on trouvera ici sil'on dirige ce calcul de façon à éliminer seulement trois 3s paramètres, le quatrième disparaîtra spontanément, vu toutefois que l'on ait suffisamment égard à la relation lable ci-dessus formulée entre les deux directrices. 9. L'équation générale du planéUnt complètement établie, éorie analytique préliminaire qui s'y rapporte est propre-

ment destinée, comme envers laligne droite, à déterminer les trois constantes, angulaires et linéaire, qu'elle contient, lorsque, sans être Immédiatement données, elles doivent résulter de diverses conditions élémentaires suffisamment usuelles, qui se réduisent encore essentiellement aux trois considérations fondamentales de passage, d'inclinaison, et d'intersection, déjà appréciées dans la double théorie de la ligne droite.

Considérons d'abord la détermination de l'équation d'un plan assujetti à passer par trois ppints donnés. En ayant égard au premier point, la relation z't^ax'+ 4y'4- c permettra de rapporter le coefficient linéaire aux angulaires, de manière à fournir le type analytique très-usuel de tous les plans qui contiennent un même point, js— j5'c=a {x^-af) +é(y— y'). On y déterminera ensuite les deux constantes a et 6 d'après les deux autres passages, qui, ainsi combinés avec le premier, fournissent les conditions

Si Ton achève l'opération, dont le résultat général ne mérite pas d'ailleurs d'être retenu, on pourra constater aisément que l'indétermination des formules finales correspond au cas où les trois points donnés sont en ligne droite, conformément aux exigences géométriques.

On pourrait présenter cette première question fondamentale sous une nouvelle forme, en assujettissant le plan à passer par un point donné et à contenir une droite donnée. Sans doute, ce second cas rentrerait aisément dans le précédent, en exprimant que le plan cherché passe en deux points arbitraires de cette droite, ceux, par exemple, où elle rencontre deux des plans coordonnés; ce qui suffirait assurément, d'après une notion géométrique très-familière, pour garantir que tout le reste de la ligne s'y trouverait aussi. Mais il importe beaucoup

464 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGB.

d'apprécier ici la manière dont l'analyse peut directement ex primer, indépendamment de toute considération antérieure, que le plan z = aa: + ôy + ^ contient la droite x «=■ mz + a, yT=anzr\-& : car, le lecteur commencera ainsi à sentir, sur un premier exemple caractéristique, le mode suivant lequel nous devrons ultérieurement faire passer, en général, une surface quelconque par une ligne donnée, Popération actuelle reposant déjà spontanément sur le même principe fondamental, suivant l'attribut nécessaire de toutes les conceptions vraiment analytiques. Or, pour que la droite soit entièrement contenue dans le plan, il faut analytiquement que les coordonnées horizontales de Tune satisfassent adéquation de Tautre, en laissant l'ordonnée verticale tout à fait arbitraire : ainsi, la substitution de mz+a et nz'\-^ au lieu de x et y doit rendre identique Téquation du plan, dès lors devenue

ce qui fournit les deux relations aw -fôn=l, aa-f-W 4-^=0, sans lesquelles Téquation précédente spécifleraitrunique intersection de la droite et du plan, qui doit ici devenir indéterminée. La première de ces deux conditions caractéristiques, indépendante des coefficients linéaires de la ligne et de la surface,indique séparémentleur parallélisme ; quant à la seconde, elle signifie, en elle-même, que la trace horizontale delà droite appartient à la trace horizontale du plan : en sorte que l'appréciation géométrique explique nettement comment la combinaison de ces deux caractères analytiques constitue exactement la situation proposée.

Dans une telle corelation de l'abstrait au concret, le degré de l'équation finale en z exerce une influence géométrique qu'il importe de bien saisir : car,- il y faut voir l'indication analytique du nombre de points qu'une droite doit avoir sur un plan

pour y être entièrement contenue ; puisque toute équation du premier degré à une seule inconnue qui comporte deux solutions distinctes est nécessairement satisfaite par toute autre hypothèse quelconque, ce résultat analytique signifie qu'une droite appartient complètement à un plan quand elle y a seulement deux points. Cette appréciation ne fait, sans doute, ici que confirmer un axiome géométrique très-connu. Mais il suffirait de la généraliser entièrement, ce qui ne susciterait aucune difficulté nouvelle, suivant le privilège naturel des vraies conceptions analytiques, pour en tirer une importante détermination, souvent ignorée, quant au nombre de points qu'une droite, ou même ensuite toute autre ligne donnée, doit avoir en commun avec une surface quelconque, afin d*y être entièrement contenue. D'après le même principe, ce nombre serait nécessairement égal à trois envers une surface du second degré, et, en général, surpasserait d'une unité le degré de la surface considérée : car, la substitution analogue des coordonnées horizontales de la droite fournirait une équation finale en z du même degré que celle de cette surface ; en sorte que cette équation deviendrait inévitablement identique si elle admettait des solutions distinctes en nombre supérieur, même d'une seule unité, à ce degré. Envers une courbe quelconque, le nombre analogue excéderait toujours d'une unité le degré de l'équation correspondante en z, alors dépendant à la fois du degré de la surface et de celui delà ligne, suivant une loi algébrique d'ailleurs trop peu connue pour qu'on en puisse d'avance formuler le résultat général.

Le second élément essentiel de la théorie analytique du plan consiste à déterminer l'angle de deux plans d'après leurs équa.tionsj2=aa:-|-ôy-|-^ ©^ z^=sa'x-{-b*y-\-c . Cette question ne peut être traitée qu'en ramenant une telle inclinaison à celle de deux droites, suivant les règles géométriques fondamen-

GÉOMÉTRIE DANS L*ESPAGE.

taies. Mais ces règles fournissent, à cet égard, deux modes très-distincts, entre lesquels le choix analytique est loin d'être indifférent. En adoptant celui que la géométrie indique d'abord, les droites auxiliaires résulteraient de la rencontre des deux plans donnés avec un troisième plan, mené, d'un point quelconque, de Torigine, par exemple, perpendiculairement à leur intersection ; ce qui conduirait à un calcul très-laborieux, que je recommande seulement à titre d'exercice scolastique. Suivant l'autre mode, au contraire, les droites sont faciles à obtenir analytiquement, comme étant respectivement perpendiculaires aux deux plans donnés : une remarque ci-dessus expliquée leur assigne ainsi aussitôt les équations

a:=— az, y=sa— Ô2 et «=— a';s, y«

Vz,

Telle est la seule difficulté nouvelle que puisse offrir la question actuelle, dès lors ramenée à la formule du chapitre précédent sur l'inclinaison de deux droites, sans qu*il convienne ici de s'arrêter spécialement à une répétition algébrique qu'U vaudra mieux opérer à l'instant du besoin : avec nos notations actuelles, la formule serait d'ailleurs littéralement la même qu'envers deux droites. On en tirerait naturellement de pareilles conséquences pour les angles de chaque plan avec les plans coordonnés, et, par suite, une semblable transformation pour l'angle de deux plans quelconques d'après leurs inclinaisons simultanées sur trois plans rectangulaires. La relation constante entre ces trois inclinaisons serait ici susceptible d'une nouvelle interprétation géométrique, que je dois expressément signaler, à cause de son utilité réelle en plusieurs occasions intéressantes. Car, en considérant la projection d'une aire plane sur un plan quelconque, le cosinus de l'inclinaison est représenté, d'après un théorème trigonométrique bien connu, par le rapport de l'aire projetée & Taire inclinée : si donc on

substitue de pareils rapports aux trois cosinus considérés dans la relation cos*X4- cos' Y + <ios'Z=l, elle conduira à reconnaître que le carré de toute aire plane équivaut toujours à la somme des carrés de ses projections simultanées sur trois plans rectangulaires; en sorte que, d'après nos explications antérieures, celte proposition remarquable constitue, au fond, une simple conséquence indirecte du grand théorème de Pythagore.

Quant à l'angle d'une droite, a:««mz4-a, y«awz+6, avec un plan, z^^^ax+by+Cy il serait encore plus facile de le ramener aussi à celui de deux droites, soit en comparant la droite donnée à sa projection sur ce plan,soit^ ce qui sera analytiquement bien plus commode, en substituant également au plan sa normale x ■■ — éî«, y— — ôz, pourvu qu'on prît ensuite le complément de l'inclinaison obtenue. La formule fondamentale du chapitre précédent conduirait ainsi à

. ,, i — ma — nb

On y vérifie aussitôt la condition ci-dessus trouvée pour le parallélisme entre la droite et le plan : quant au cas de rectangularité, la relation se décomposerait spontanément en deux autres, suivant un mode algébrique déjà expliqué.

Enfin, le dernier élément indispensable à la théorie analytique du plan consiste à déterminer l'intersection de deux plans d'après leurs équations. Cette question est aussitôt résolue que posée, puisque la droite cherchée se trouve anàlytiquement exprimée parla coexistence de ces deux équ ations,suivant les explications fondamentales de Tavant-dernier chapitre. Si ,d'ailleurs, de ce premier couple analytique, on veut passer, comme il conviendra ordinairement, au couple final des plans projetants, cette transformation n'offrira aucune difficulté propre à la re-

468 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPAGE.

cherche actuelle, et s*accomplira régulièrement, en chaque cas, d*aprës la double élimination prescrite, qu'il serait inutile ici de formuler d'avance.

Il ne sera pas plus difficile de déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan, en combinant leurs trois équations simultanées pour obtenir les trois coordonnées du point commun.

Ces deux questions se résolvent évidemment, en ce cas, selon le même mode analytique qu'envers toute autre sorte de lieux géométriques, surfaces ou lignes.

140. Parmi les nombreuses recherches composées qui, dans la théorie analytique du plan, peuvent résulter de la combinaison de ces trois problèmes indispensables,ilfautici, comme envers la ligne droite, distinguer surtout, soit à titre de type, soit en vertu de son utilité réelle, la détermination de la distance jod'un point (a?', y', 2') à un plan (z^aX'^by-\-c). D'après les équations de la perpendiculaire correspondante,

on peut calculer les coordonnées de son pied ; mais, comme la longueur cherchée dépend seulement de la différence de ces coordonnées à celles du point donné, on abrégera sensiblement l'opération algébrique en écrivant d'abord Téquation du plan sous la forme z—z':=ia [x — x') +à(y^t/')-\-d,d désignant

provisoirementlepolynomeconnuoor'-f" ôy'+^ — z'.On trouvera ainsi la formule très-usuelle

ax'+by'+c — z' v/a^ + ô« + l

assez simple pour être aisément retenue, et dont le souvenir se liera d'ailleurs profondément à celui de la formule analogue en géométrie plane, qui en constitue naturellement une simple modification spéciale. Il serait facile de l'obtenir trigonométrie

quement de la même manière que celle-ci, à Taide du triangle rectangle formé par le prolongement de la verticale du point donné jusqu'au plan donné. On y remarque, comme dans le cas plan,qu'elle est rationnellement composée en fonction des coordonnées du point. Au reste, la rationalité de cette formule et Tirrationalité de celle du chapitre précédent pour la ligne droite étaient susceptibles de prévision géométrique, en considérant,de part et d'autre, le lieu naturel des points équidistants, dont Téquation doitètre évidemment du premierdegré àPégard du plan et du second envers la ligne droite.

La formule précédente fourniraitcommodémentréquation du plan bissecteur de Tangle de deux plans donnés, en y voyant le lieu des points équidistants de ceux-ci ; ce qui, en quelques occasions utiles, éviterait de longs circuits algébriques.

On peut aussi l'appliquer heureusement, en un cas plus important, pour obtenir l'expression de la moindre distance de deux droites données, abstraction faite des points correspondants, comme je Tai annoncé à la fin du chapitre précédent. Il suffit, en effet, de substituer à cette distance celle, évidemment équivalente, d'un point arbitraire de l'une des droites au plan qui lui serait mené parallèlement par l'autre. En utilisant convenablement ce qu'un tel calcul renferme de facultatif, on trou-

vera sans peme la formule finale^ ^ / v / \ /

y/{ar-'aJ+{b-b'Y+[ab''-a'bY Sa composition satisfait aussitôt à l'évidente condition de s'annuler spontanément quand les deux droites se rencontrent : je laisse au lecteur le soin d'y apprécier le cas exceptionnel du parallélisme, où elle semble d'abord devenir indéterminée.

Toute autre explication spéciale serait ici superflue envers les questions composées relatives à la théorie analytique du plan, et qui, essentiellement inapplicables, ne peuvent offrir d'utilité didactique qu'à titre de simples exercices^ dont l'effi-

470 GÉOMÉTRIE DANS L'BSPACE.

cacité résolte surtout de leur spontanéité. J'engage seulement le lecteur à chercher ainsi, d'après les coordonnées de quatre points quelconques de Tespace, soit le volume du tétraèdre correspondant, soit les rayons des deux sphères qui lui se* raient inscrite et circonscrite ; sans même achever ces laborieux calculs^ leur institution nette exercera utilement à la combinaison familière des trois éléments essentiels de la théorie préliminaire que nous venons d'établir.