CHAPITRE IV

Théorie de la transposiUoii des axes dans l'espace.

141. La nature et la destination de cette dernière théorie préliminaire comportent ici les mêmes réflexions générales qu'en géométrie plane : il n'y a maintenant de nouveau que la plus grande difficulté d'établir les formules correspondantes et leur complication supérieure. Sans revenir expressément sur des explications que chaque lecteur étendra spontanément, il est clair qu'une telle théorie doit être aussi indispensable à l'étude générale des surfaces qu'à celle des lignes, soit pour découvrir l'identité des lieux géométriques malgré la diversité de leur représentation analytique quand la différence ne résulte que des situations respectives, soit pour simplifier autant que possible l'équation propre à chaque lieu en assignant aux axes la position la plus favorable ; le premier office continue d'ailleurs à être ordinairement plus important que le second. Quant au nombre nécessaire des constantes arbitraires que doivent contenir les nouvelles formules de transposition, il devient natu-

PREMIÂRE PARTIE, CHAPITRE OUATRIÈME. 471

rellement plus grand que pour le cas plan : le déplacement de Torigine, qui correspond toujours à la translation deslieux, introduira trois éléments linéaires ; le changement de direction des axes exigera, en général, la considération de six angles, puisque, dans l'espace, toute direction se détermine naturellement par deux angles; mais, si Tinclinaison des axes demeure la même qu'auparavant, ce qui représente, en sens inverse, la rotation des lieux, ces six angles arbitraires se réduiront spontanément à trois, les inclinaisons données suppléant aux trois autres. Ainsi, en principe, ces formules contiendront nécessairement six constantes arbitraires, trois linéaires et trois angulaires, lorsqu'on les emploiera à la comparaison géométrique de deux équations distinctes ; elles en renfermeraient, au contraire, jusqu'à neuf, trois linéaires et six angulaires, quand on les appliquerait à la simplification algébrique de chaque équation isolée. Toutefois,mème pourcette seconde destination,les constantes disponibles ne sontpas habituellement plus nombreuses que pour la première^parce qu'on préfère ordinairement maintenir la rectangularité des axes; quoique leur obliquité permît, sans doute, de supprimer trois termes de plus, elle complique tellement l'interprétation géométrique qu'on doit ici l'éviter encore plus soigneusement qu'en géométrie plane.

En procédant, comme au n^ 29, d'après la décomposition naturelle de la question fondamentale, considérons d'abord le simple changement d'origine. Les nouveaux axes étant parallèles aux anciens, il est clair que les deux coordonnées analogues d'un point quelconque auront entre elles une différence constante, égale à l'intervalle des plans fixes où elles aboutissent respectivement, et représentant le déplacemen t d'origine correspondant. Ainsi, les formules de transposition seront encore

472 GËOHÉIRIB DANS L'ESPACE.

b^ c, désignant les anciennes coordonnées de la nouvelle igtne, et se trouvant, par conséquent, affectées, en chaque s, d'un signe indispensable, sans l'appréciation duquel ces rmules manqueraient de généralité.

Le changement de direction des axesautonrdelamémeorite, qui constitue la principale dlfGculté d'un tel sujet, offre plus d'embarras qu'en géométrie plane, où la solution trinométrique était presqueaussifacileàinstituerqu 'à exécuter, idis que maintenant elle exigerait naturellement de pénibles mparaisous entre des lignes appartenant à des plans difféits.Ces obstacles sont assez gravespoursusciterrapplicalion in nouveau principe géométrique dû à Carnot, et qui, d'ailirs trËs-utile en beaucoup d'autres recherches, dissipe heuisement toutes les complications de la question actuelle. Il asiste en ce que, si l'on projette, sur un axe quelconque, un nlourrectiligne fermé, d'ailleurs plan ouganche,la projection chaque cAté sera toujours égale à la somme algébrique des éjections de tous les autres. Exposons d'ahord l'explication Qérale de cette importante relation.

Par sa nature, il sumtdel'avoir constatée envers un simple angle pour acquérir aussilAtledPoitdel'étendresuccessivefnt à un polygonequelconque, formé d'une suite de triangles nligus, qui peuvent d'ailleurs être situés en des plans difféils.Afin d'en mieux caractériserlanotion, bornons-nous donc onsidérer ce cas fondamental, quoique la démonstration pftt ectement convenir à tout contour fermé. On évitera toute scurité, à cet égard, si l'on apprécie préalablement, en gérai, la double manière dont peut Ctre comptée, d'aprësla loi signe concret, la projection de chaque côté, évidemment iceptible d'inversion selon le sens dans lequel on parcourt ne et l'autre ligne. Cette opposition de signe est lidëlemenl duile par l'expression algébrique de la projection, propor-

tionnellement au cosinus de rinclinaison du côté sur Taxe : car, le signe de ce cosinus change spontanément suivant celle des deux extrémités que Ton regarde comme initiale, en concevant Tautre comme finale, puisque Tangle avec Taxe, toujours compté dans le même sens, suivant le précepte trigonométrique, augmente alors de 180^.

D'après cet éclaircissement préalable,, le principe des projections linéaires ne peut offrir aucune difficulté, en considérant la succession nécessaire des projections dedeuxcôtés consécutifs, comparés à la projection du troisième côté du triangle correspondant. La seconde projection se juxtaposera ou se superposera à la première, selon que le second côté fera, comme le premier, un angle aigu avec Taxe, ou bien un angle obtus : or, la projection du troisième serait alors, évidemment, tantôt la somme, tantôt la différence géométrique de ces deux premières projections^ dont elle représentera donc toujours la somme algébrique, en ayant égard aux signes simultanés des cosinus. Même quand le second côté prend une direction perpendiculaire à Taxe^ auquel cas sa projection n'altère nullement celle du premier, la relation subsistera encore, puisque le terme correspondant s'annulera spontanément. On voit que, dans un tel énoncé, il faut considérer le dernier côté comme ayant la même origine que le premier ; si on l'estimait naissant de son autre extrémité, c^est-à-dire suivant le parcours naturel du circuit total, sa projection changerait de signe, et le théorème consisterait en ce que la somme des projectionsde tous les éléments d'un contour fermé reste constamment nulle envers un axe quelconque.

L'importance de ce principe géométrique m'engage à indiquer une autre manière générale de l'envisager, qui pourra dissiper ou prévenir, à cet égard, toute confusion. Si l'on substitue à l'axe considéré un plan qui lui soit perpendicu-

74 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAIX.

lire.et qui d'ailleurs laisse dn même cdté toas les points proosés, il est clair que la projection de chaque l^e sur l'axe limitif se trouvera représentée par l'excès de distance à ce lan d'aoe de ses extrémités comparée h l'antre : la double lanière d'instituer cette comparaison d'éloignemeatcorrespond pontanémeot an double sens de la projection. Or, en parcoumt successivement tous les sommets d'un contoar Teraié, iangulaire ou polygonal, plan ou gauche, l'écartement proressifenvers an tel plan, toujours augmenté algébriquement es divers écartements partiels, doit nécessairement se re- ■ouver nul quand, après avoir parcouru le circuit entier, on ;ra revenu au point de départ. De là résulte la relation proosée, d'abord sous sa seconde forme, et par suite aussi sous 1 première, en renversant le mode d'estimation propre an eroier cAté, comparé è l'ensemble des autres.

142. U est maintenant facile de déduire de ce principe les irmules propres au changement de direction des axes, dans espace, autour d'une même origine, surtout en supposant s8 anciens axes rectangulaires, ce qui constitue le seul cas Buel, hors duquel il serait ici superflu de statuer, quoique la larche fût essentiellement semblable. Car, envers des axes aelconques, les trois coordonnées OP', P'N', N'H (fig. SU) un même point peuvent être regardées comme formant un aadrilalère gauche, fermé par la distance OH de ce point à origine, et auquel on peut appliquer le principe des projec- ODS. D'un autre cAlé, la projection de cette diagonale OH ir chacun des axes OX, OY, OZ, équivaut évidemment & ordonnée correspondante dn point H. Si donc on considère

quadrilatère ainsi formé des nouvelles coordonnées z', y\ s', . qu'on le projette successivement sur les anciens axes des x, 3B y, et des z, on obtiendra aussitôt les formules cherchées.

a; => a:' C08 XTt + y ' cos Y'X + z' cos Z'X y = x' 008 X'Y + y' cos Y' Y + z' cos Z'Y 2 — a:' cos X'Z + y' cos Y'Z + z* cos Z'Z,

en adoptant, pour les neuf angles ainsi introduits spontanément, la lumineuse notation de Camot, fondée sur la coexistence des deux lettres qui indiquent les deux côtés de chaque angle. En géométrie plane, nous avons pu perfectionner cette notation, sans la rendre moiils expressive, parce que, tous les angles considérés se trouvant alors formés avec une même droite, la mention formelle de celle-ci devenait superflue, et la désignation pouvait se réduire à une seule lettre, relative au c6té variable. Mais, dans l'espace, une telle abréviation ne comporterait plus assez de clarté : quant à Tusage de lettres insignifiantes, ses inconvénients géométriques surpassent beaucoup ses avantages algébriques.

L'apparente simplicité des formules précédentes tient àl'emploi d*un trop grand nombre d'angles, qui ne sauraient jamais être envisagés comme îhdépendants les uns des autres, même quand rinclinaison des nouveaux axes resterait arbitraire : puisque chacun de ceux-ci y a été déterminé par ses indinaisoûs sur les trois axes anciens, dont deux suffisent évidemment. Ainsi, Tusage de ces formules doit toujours être accompagné de la considération effective des relations nécessaires qui existent entre ces angles, et qui sont, d'après Tavant-demier chapitre,

cos» X'X + cos» X'Y + cos» X'Z = 1

cos» Y'X 4- cos* Y'Y + cos» Y'Z = 1 cos» Z'X -f cos» Z'Y -f cos» Z'Z = i.

En outre, quand les nouveaux axes seront pareillement rectangulaires, la règle d'Ëuler fournira trois autres relations

476 GÉOMÉTRIE DANS l'ESPAGE.

cos X'X cos Y'X + C08 X'Y cos Y'Y + cos X'Z cos Y'Z = 0 C08 X'X cos Z'X + cos X'Y cos Z'Y + cos X'Z cos Z'Z = 0 cos Y'X cos Z'X + cos Y' Y cos Z'Y + cos Y'Z cos Z'Z — 0,

dont la combinaison avec les précédentes permettrait de réduire les formules de transposition à ne contenir que trois angles indépendants, conformément à la nature de la question. Ces deux groupes des relations indispensables au passage habituel d*un système d'axes rectangulaires à un autre pourraient aussi prendre une forme inverse, en comparant, dans le premier, les inclinaisons simultanées de chacun des anciens axes sur les trois nouveaux, et en formulant, dans le second, la rectangularité des anciens axes entre eux, d'après ces mêmes inclinaisons.

143. On peut établir les formules précédentes, ainsi que les conditions qui s'y rapportent, suivant un autre mode général, purement analytique, qu'il importe maintenant de caractériser en considérant immédiatementlecasleplusétendu, où les axes changent à la fois d'origine et de direction. Cette marche, éminemment rationnelle, due à Lagrange, repose sur l'évidente appréciation de la nature, nécessaire de telles formules, qui doivent être du premier degré, sous la forme

ar = a + mx' + ny' + pz\ y B=i 6 -|- m'x' + n'y* +p'js', z «= c + m"a:' + n"y'+p'V,

afin que leur substitution ne puisse pas altérer le degré de l'équation de chaque lieu, degré qui ne saurait changer avec la situation. Si on conseiTait, à cet égard, quelque incertitude, il suffirait de considérer que ces formules sont nécessairement communesàtoutesleséquations possibles, en tant que relatives à chaque point isolément envisagé, à quelque lieu qu'il puisse appartenir : d'après ce motif irrécusable, la permanence effec-

tive du degré envers certains lieux particuliers, dont on connaît le type analytique le plus général, convenable à toutes leurs positions quelconques, comme à Tégard du plan ou de la sphère, etc., démontrerait complètement que les formules de transposition doivent être ainsi constituées, même quand on n'aurait constaté qu'un seul exemple semblable.

La difficulté étant alors réduite à déterminer les coefficients constants des expressions précédentes, on y parvient aisément, suivant la marche ordinaire, par Texamen direct de quelques cas particuliers suffisamment connus. Quant aux termes indépendants A^x'yy\ ;s', et qui, d'après la loi d'homogénéité, doivent géométriquement être linéaires, ils constituent évidemment les valeurs de x, y, z, pour a;'«» 0, y'= 0, «'«= 0 ; et par conséquent, ils désignent nécessairement les anciennes coordonnées de la nouvelle origine, comme on l'avait autrement trouvé ci-dessus. D'ailleurs, leur mode d'association analytique à l'ensemble des autres termes indique clairement que la variation totale résultée des changements simultanés d'origine et de direction, est la somme des variations partielles dues à chaque sorte de transposition successive. On peut donc, pour déterminer les coefficients des termes variables, simplifier les formules en y concevant la fusion des termes indépendants dans le premier membre, sans diminuer nullement la généralité de cette opération, envers des constantes dont laloid'ho* mogénéité annonce déjà la nature purement angulaire. Gela posé, les trois coefficients de x' par exemple^ s'obtiendront aisément, d'après une hypothèse propre à réduire les seconds membres à m,m\m'\ c'est-à-dire, en faisant y'= 0, 2*=0et jt'bsI. Ainsi, ces trois constantes équivalent aux coordonnées anciennes d'un point pris sur l'axé des x\ à la distance 1 de la commune origine. Or, si Ton considère, d'une part, que ces coordonnées peuvent être regardées comme les projections dtt

fc^

cette distance sur les anciens axes, et d'une autre part, que ces projections sont mesurées par les cosinus des angles correspondants, on reconnaîtra finalement que m, m ' et m", désignent respectivement les cosinus des angles de Taxe des x' , avec les trois axes des x^ des y et des z. Par une semblable détermination envers les coefficients de y* et de z\ on achèverait de reproduire exactement les formules fondamentales du n<^ précédent.

Quant aux six relations nécessaires des neuf constantes angulaires, elles résulteraient simultanément de ce que la fonction ar* + y* + ^* ^^^^ rester invariable en changeant le système des axes rectangulaires, comme exprimant diversement la distance d'un même point quelconque à la commune origine. Or, si on développe cette condition ar^+y'+^'^^'^+y'M"^'» d'après les formules précédentes, on trouvera aussitôt les^ deux groupes de relations cherchés,

mn4-m'n'+w"«"=0, mp+m'p'+m"p"=0, np+n>*+n"p"=0.

Lorsque les nouveaux axes sont obliques, le second groupe est modifié, conformément à la formule correspondante des distancesna;'«+y'«+«'*+ar'y'cosX'Y'-h2a;'«'cosX'Z'+2y'i6'cosY'Z': il est digne de remarque que cette modification reproduit spon-

(*) Au sujet de cette formule desdistances, dans l'espace, en coordonnées obliques, il convientdc noter la facilité de formation qu'y offrirait le principe des projections, en considérant d'abord la relation résultée du triangle analogue à celui que nous avons considéré envers des axes rectangulaires. On aurailainsi.en premier lieu,d«=(2"—z')a-M H-ât x"—«')d'cosa,d'désignantla distance des projections horizontales correspondantes, et a son inclinaison sur l'axe des s. La formule plane déjà établie donnerait ensuite d'*=(y"— y')* -f(a;'-z')«+2(i/"-y')(a:"-ar')cosYX.Quantaudernierterme2{i"— jf)d'cosot, il suffit alors d*y envisager le facteur d'cosa comme mesurant la projection de rf sur l'axe vertical : car, en la comparant à celles des horizontales y"— y' et x"^x\ le principe des projections permettra aussitôt de la remplacer par (y' —y) cosYZ 4-(x"— a?*) cosXZ, ce qui achève d'établir la formule cherchée.

tanément le théorème d*Euler cos X'Y'="mn+ wi'n*4-»»"^", dès lors conçu d'une manière purement analytic[ue.

144. Pour compléter la théorie de la transposition des axes, il nous reste maintenant à considérer une indispensable transformation angulaire, destinée à dispenser de toute relation étrangère aux formules fondamentales, en rapportant tous leurs coefficients primitifs à trois angles seulement, dès lors pleinement indépendants. Sans doute, une telle réduction n'exigerait ici aucune appréciation nouvelle, si on prenait ces trois angles parmi les neuf déjà introduits, et entre lesquels nous avoue établi six équations supplémentaires, qui permettraient d'exprimer les uns d'aprèsles autres. Mais, àl'inspection de ces relations, on voit que les six expressions finales qu'elles fourniraient se trouveraient trop compliquées pour une destination aussi usuelle, à cause des dénominateurs, et surtout des radicaux, dont elles seraient surchargées. Si donc, on devait conserver les angles primitifs, il serait encore préférable de les garder tous^ en se résignant à prendre chaque fois en considération effective ces six conditions nécessaires^ plutôt que d'altérer autant la simplicité des formules générales en les y insérant ainsi d'avance implicitement. Telle est la seule marche qu'il faudrait habituellement suivre, quelque pénible qu'elle soit réellement, sans l'heureuse idée d'Euler qui, étendant à la géométrie abstraite un usage depuis longtemps familier en astronomie, a irrévocablement dissipé cette f&cheusQ alternative en choisissant trois nouveaux angles auxquels tous les précédents peuvent se rapporter selon des formules très-simples, dont Tinlroduction dispense désormais, à cet égard, de toute équation accessoire.

Ce mode consiste à déterminer la situation du nouveau système rectangulaire envers l'ancien en considérant d'abord l'angle 9 formé avec l'axe priinitif des x par Tinterseclion des

10 CÉOHfiTflIE DANS L'ESPACB.

iox plans x'y et xy, ensaite rinclioaison mutaelle 0 de ces ans, et enfin l'angle <^ de leur intersection avec le nouvel axe is X'. Un tel procédé ne constitue, au fond, qu'une imilatîoa idicieuse de l'usage universel des asUtinonies qui, depuis Hiptrqne, caractérisent la situation relative des diverses oHiltes anétaires, d'après la direction de leur trace sor le plan de icliptique.Ieur obliquité par rapport à celui-ci, et l'inclinaison e leur axe sar la ligne des nœuds. Quoi qu'il en soit de l'oriinalité d'un tel système angulaire, on ne peut méconnaître sa leine efOcacilé analytique, puisque la formule fondamentale e la résolution desangles triëdres ou des triangles sphériques,

cos a '^ coB b coi c -{- an b siû c cos \,

ifflra toujours directement pour y exprimer très-simplement !8 huit angles primilifs, le neuvième ZZ' étant ici seul conirvé, sous le nouveau nom de 4, comme égal à l'inclinaison luluelle des deux plans x'y' et xy. Tout se réduit, en effet, avers chacun de ces angles, à considérer l'angle trièdre dont forme une face, et dont l'arête opposée est toujours l'interïction auxiliaire OT {/ig. SU) de ces deux plans. Ainsi, pour ■ansformer cos X'X, premier coefBcient de la formule de x, a aura, dans l'angle trièdre \'XT,

cos X'X ^ cos f cos i|i 4- sin !p sin if cos 6 ;

a calculera de même cos Y'X d'après l'angle trièdre Y'XT, et Q pourrait mêmele déduire du précédent, parle changement i <{<en90*-|-<j<: quant à cos Z'X, l'angle tiièdre correspondant 'XT aura une face rectangulaire ZT, ce qui simplifiera la irmule de transrorroalion,en la réduisant au second terme, qui onnera cos Z'X=" sin f cos (W-l- 6) =>■ — sio ip sin 9. Les trois lefRcients propres à la formule dey se tronverontcommeles [■écédents, et pourront d'ailleurs en dériver, si on y remplace

partout f par 90^+^. Enfin, la transformation sera encore plus facile quant à 2, à cause delà rectangularité spontanée d'une des faces de chaque angle triëdre, le dernier coefBcient étant d'ailleurs conservé. C'est ainsi que les formules de transposition prennent aisément leur forme définitive, heureusement affranchie de toute relation extérieure,

x^=» x' (cos cp cos ^|/ -)- sin f sin 4^ cos 6) -j-

+ y' { — cos <p sin ^j* + sin ç cos ^ cos 6) — z* sin 9 sin 6 + «

y = ar'( — sin 9 cos ^-|- cos 9 sin^ cos6) +

+ y* (sin <p sin ^ 4" cos 9 cos ^ cos ô) — «' cos 9 sin 6 + 6

jge=a;'sin^sin6-{-y'cos4^sin6 + «'cps6-|-c.

145. Nous devons, enfin, apprécier une importante modification spéciale de ces formules générales, destinée àrapporter Téquation d'une courbe plane à des axes pris dans son plan, de manière à permettre d'étudier désormais cette ligne d'après une équation unique, suivant le mode plan. Si les nouveaux axes des x' et des y' appartenaient au plan, supposé connu, de la courbe donnée, f% (ar, y, z) == 0, /i (x, y, ;5) =* 0, il sufQrait alorsdesubstituerles formules précédentesdansFune ou l'autre de ces équations, ce qui, en ce cas, serait indifférent, et d'y faire ensuite z'>a 0, ce qui devrait tenir lieu, d'après l'hypothèse, de la seconde équation. Mais^ on peut d'abord abréger beaucoup l'ensemble de ce calcul^ en supposant z' «^0 avant d'accomplir la substitution^ quand la courbe est réellement plane, et que son plan est préalablement déterminé, comme nous le concevons en ce moment. De plus, la disponibilité des nouveaux axes rectangulaires dans ce plan permet d'opérer une simplification encore plus importante, en plaçant leur origine sur l'axe vertical^ et dirigeant l'un d'eux parallèlement à la trace horizontale du plan de la courbe, de manière à annuler, d'une part les constantes linéaires a et by d'une autre part

rv:ï*

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGE.

F" Al/'.

Fangle ^. L'ensemble de ces modifications réduit les formules primitives à celles-ci

x=ax' cos<f-{'t/' siuf cos6, y=s — a:' sin y + y' cos <p cos6,

js =. y' sîn d + c,

qui ne contiennent que trois données, une linéaire et deux angulaires, relatives au plan de la courbe considérée. On conçoit qu'elles doivent être fort usuelles dans toute la géométrie à trois dimensions, où Tétude des surfaces eiige presque toujours Tappréciation de leurs sections planes, qui ne saurait devenir suffisamment nette qu'autant qu'on pourra Taccomplir d'après une seule équation, directement correspondante au plan de chaque courbe. Il faut d'ailleurs concevoir que, quoique la situation ainsi assignée aux nouveaux axes doive être, en général > la plus propre à faciliter, envers de telles courbes^ la transition analytique de la géométrie à trois dimensions àla géométrie plane, elle pourran'ètre pas toujours la plus convenable, soit géométriquement, soit analytiquement, à l'examen spécial de chacune d'elles. Mais, une fois quecette étude auraété ramenée au mode plan, lesx^hangements d'axes qu'elle pourrait ultérieurement exiger s'opéreront suivant les règles ordinaires de la géométrie plane, et leur considération deviendraitentièrement étrangère à notre sujetactuel,où il s'agissait uniquement d'instituer, le plus simplement possible, ce passage indispensable. L'ulUité prononcée de ces formules spéciales m'engage à indiquer au lecteur le moyen de les établir directement, sans les déduire des formules générales de transposition. Or, en écartant le déplacement d'origine, qui n'y peut susciter aucune difficulté, leur formation immédiate estnaturellement suggérée par l'analogie spontanée des deux premières avec celles qu'indique la géométrie plane pour changer la direction des axes rectangulaires ; car, celles-ci n'en diffèrent réellement que par

le changement de ^' en^' cos 0, sauf un renversement de signes, purement facultatif, envers Tanglecp, ici compté en sensinverse du cas plan. D*après cette indication, qu*on imagine, dans le plan xy, un axe auxiliaire OU \jp.g, 82) perpendiculaire à Taxe OT, qui est maintenant celui des x' ; les formules planes que je viens de rappeler permettront de passer des coordonnées a; ety aux coordonnées x' et u de la projection horizontale H du point N* queFon considère arbitrairement sur le plan x'y' ; dès lors, le triangle rectangle N'HQ fournira aisément le moyen d'éliminer u ou HQ, et aussi d'exprimer la troisième coordonnée:? ou N'H, d'après l'hypoténuse N'Q ou y' etl'angle connuN'QH ou 6 ; ce qui reproduira exactement les formules précédentes.

146. Quand la courbe donnée /i (a:, y, -2)= 0, /i (^, y s ^)= 0, sera réellement plane, mais sans qu'on en soit averti, son plan étant d'ailleurs encore inconnu, la méthode précédente restera pareillement applicable, en y concevant alors indéterminées les trois constantes «, 0 et c, ce qui n'empêchera nullement la substitution de nos formules. Seulement, cette substitution, qui n'était d'abord indispensable qu'envers l'une des deux équations proposées, devra maintenant s'accomplir dans toutes deux, afin de constater la nature plane de la courbe considérée et de déterminer son plan, d'après l'identification totale des deux résultats par des valeurs convenables des constantes disponibles 9, 0 et c. Lorsque cette coïncidence ne saurait s'établir de quelque manière qu'on dispose de ces trois éléments du plan supposé, il sera démontré que la courbe en question n'est pas véritablement plane.

Cette opération analytique pouvant s'accomplir entièrement sans que les coefficients des deux équations primitives soient déterminés, pourvu que l'indétermination ne s'étende pas aux exposants, une telle méthode, poussée jusqu'à sapins grande extension fondamentale, permettra de résoudre un problème

si'-.

important de géométrie générale, en découvrant analytiquement les conditions, de situation ou de grandeur, sous lesquelles l'intersection de deux surfaces quelconques, données d'espëce, deviendra une courbe plane. Il suffira, eneffet,après avoir disposé de f , 6 et c, de manière à satisfaire à trois des relations de coïncidence ci-dessus prescrites, de substituer leurs valeurs dans les autres relations de ce genre^ qui exprimeront alors les conditions propres aux coefficients des deux surfaces en cas d*intersection plane.

Soient, par exemple, les deux cylindres, elliptiques ou hyperboliques, x*+pz^=: y, y*4-mz*=n. Les deux substitutions indiquées conduiront aux relations de coïncidence

cos ^ sin 9 cos 0 sin ^ cos 9 cos 0

cos^ <p sin' 9 '

sin* y cos^ Q H" JP sin' 0 cos' 9 cos' 6 -j- m sin' 0

cos' 9 sin' <p '

cp sin 6 cm sin 6 pc' — q mc^ — n ^

cos* 9 sin'(p ' cos' 9 sin* 9

la première donne 0 =. 9(y», la seconde tang 9 = y — , et la

troisième laisse c indéterminé ; ainsi, quand Tintersection est plane, son plan est vertical et passe par Taxe desjz, sous un angle connu avec Taxe des x. D'après ces éléments, la quatrième relation fournit la condition cherchée pn i» m^, qui signifie géométriquement que les deux bases, d'abord de même espèce, doivent avoir des axes verticaux d'égale longueur, quels que soient d'ailleurs leurs axes horizontaux.

SECONDE PARTIE