PRÉAMBULE

147. Toutes les théories générales que nous avons établies dans la seconde partie de la géométrie plane, s'étendent naturellement à la géométrie à trois dimensions, soit pour les surfaces, soit pour les lignes, sans exiger ici aucune nouvelle explication fondamentale. Le régime didactique ordinaire oppose seul de véritables obstacles à cette extension spontanée, en dissimulant la généralité intrinsèque des principales conceptions de la géométrie analytique, sous leur vicieuse adhérence à quelques cas spéciaux. Hais, ces divers principes ayant été, dans ce traité, conçus et exposés d'une manière pleinement générale, tout lecteur qui les aura suffisamment compris pourra, de lui-même, les appliquer, sans aucune difficulté sérieuse, à cette nouvelle destination, en y opérant, d'ailleurs, quand il le faudra, les modifications convenables. Cette facile élaboration spontanée, qui constitue l'un des avantages essentiels delà marcheque j'ai établie, me permettra ici d'abréger beaucoup l'étude analytique des surfaces, en la réduisant surtout aux seules conceptions qui lui sont vraiment propres, et

GÉOMÉTRIE DANS L^BSPACE.

qui n'ont aucun analogue en géométrie plane: en même temps ces notions supérieures, trop souvent inaperçues jusqu'à présent au milieu d'une foule de détails superflus ou déplacés, seront ainsi plus nettement saisies et plus complètement

appréciées. Je vais donc me borner maintenant, quant aux différentes théories déjà traitées en géométrie plane, àquelques rapides indications caractéristiques, destinées, soit à faciliter, à leur égard, le travail personnel du lecteur, soit à y signaler quelques modifications dont nous aurons lieu ensuite déconsidérer l'application usuelle.

La première d'entre elles, relative au nombre de points déterminant s'étend directement aux surfaces, aussi bien dans sa méthode subsidiaire que dans ses principes fondamentaux, sans exiger aucun autre amendement que celui naturellement relatif au nouveau nombre des coordonnées, et qui prescrira de compter désormais chaque point singulier comme équivalent, pour la détermination d'une surface quelconque, non plus à deux points ordinaires, maïs à trois. Envers les lignes, la modification est plus profonde et plus délicate, à cause de la dualité actuell^de leur expression analytique, dont l'influence, quoique toujours facile à prévoir, a été, sous ce rapport, mal appréciée quelquefois. Nous avons eu déjà l'occasion de la caractériser pour la ligne droite, de manière à indiquer nettement sa tendance générale. Il faut surtout y remarquer que le nombre de points déterminant, à l'égard d'une courbe quelconque^ est alors la moitié de celui des constantes

arbitraires ou des coefficients indéterminés propres au couple analytique le plus simple et le plus général dont elle soit susceptible, puisque chaque passage fournit maintenant deux relations au lieu d'une seule. Ce nombre total de constantes ou de coefficients doit donc être toujours pair, et il y aurait ua contre-sens grossier à le supposer jamais impair : s'il se pré-

sentait d'abord comme tel, ce serait un motif suffisant d'assurer, ou que les équations n'ont pas toute la généralité convenable, ou qu'elles contiennent quelque paramètre superflu. Par exemple^ en concevant le cercle d'après^ la rencontre d'une sphère et d'un plan, ce qui constitue, dans l'espace, son meilleur mode d'expression analytique, ses équations semblent être

(x — a)^ + (y — ê)«4.(;2 — Y)« = r%z = ezar + *y + c;

mais, puisqu'elles renferment sept constantes arbitraires, l'une d elles est certainement inutile : en effet, quoique le plan doive être unique, la sphère ne l'est pas, et pourrait varier sans faire changer le cercle : il faut donc restreindre assez cette surface pour qu'elle devienne aussi déterminée que l'autre. On y parvient commodément en assujettissant son centre à. faire partie duplan considéré; en sorte que leséquations du cercle prennent finalement la forme pleinement convenable

qui offre d'ailleurs accessoirement l'avantage géométrique de ne contenir que des constantes directement relatives àlacourbe proposée. Un tel éclaircissement sur ce cas usuel indique assez comment il faudrait procéder envers tout autre.

Notre théorie des tangentes aux courbes planes conduit aisément à former l'équation du plan tangent à une surface quelconque, en concevant ce plan comme le lieu naturel de toutes les tangentes aux diverses sections planes de la surface autour du point considéré. Or, cette notion géométrique, familière en géométrie descriptive, peut être fondée, indépendamment de toute analyse, sur la considération directe de la /lormale, immédiatement caractérisée par sa propriété de minimum. Dès lors, la formation de l'équation du plan tangent ne peut offrir aucune difficulté, puisqu'elle se réduit aussitôt à exprimer

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qu'il contient deux droites, préalablement obtenues comme tangentesàdeux courbes convenablement choisies sur la surface proposée / (ar, y, z) = 0. Les coupes les plus favorables résulteront des plans y =» yi, x^^^ x^ menés, du point de contact donné {xu Vu ^i)i parallèlement à deux des plans coordonnés : leurs équations propres seront, respectivement, f{x^yu ^)=»0, f (^1» y I ^) = 0 : elles découleront de celle de la surface, en y supposant constants y ou x. Ainsi, les équations des tangentes correspondantes deviendront, d'après notre règle fondamentale,

y=yi, X— 051=— *^[%^%i), et x^xu y^yi=z — '^ (2— ^i).

Pour que ces droites soient contenues dans le plan cherché z — j5tsa=a(a; — Xi) 4- b (y — yi), ses coefficients angulaires a et A

devront être respectivement égaux aux fractions ^-^ei — i^ïî.

L'équation du plan tangent sera donc finalement

f'zi {z - Zi) + f'yi {y ^ yi) + r« {x - Xi) = 0.

On en déduira facilement les équations de la tangente à une courbe quelconque , analytiquement représentée, de la manière la plus générale, par le couple (p (a:, y, ;8)=0, ^ (or, y, z)«=0, en concevant géométriquement cette tangente comme l'intersection des plans tangents menés, du point considéré, aux deux surfaces correspondantes. Si l'on employait le système des cylindres projetants, on ramènerait plus directementla question à la géométrie plane, puisque les projections de la tangente cherchée devraient toucher les projections respectives de la courbe : mais, au fond, ce mode de réduction ne constituerait encore qu'un cas particulier de la notion précédente. D'après ^^ l'ensemble de cette appréciation, on voit que notre méthode fon-

damentale des tangentes s'étend spontanément à la géométri,e à trois dimensions, soit pour les surfaces, soit pour les lignes, et

en y conservaût le même degré précis de généralité ; en sorte qu'elle s'y trouve pai*eillementétablie, en principe, envers tous les cas possibles, mais également restreinte ici, dans son application effective, aux seules équations algébriques, préalablement rendues rationnelles et entières, par suite d'une semblable influence delà faible instruction analytique exigée en ce traité.

En étendant aux surfaces la déOnition des diamètres, ces lieux, qui alors deviennent aussi des surfaces, pourront s'obtenir analytiquement de la même manière qu'en géométrie plane, en appliquant chacune des deux méthodes générales que nous y avons établies, avec des modifications trop évidentes pour nécessiter maintenant aucune explication. On pourrait aussi opérer une semblable extension envers la méthode supplémentaire destinée à déterminer spécialement les diamètres rectilignes, ici transformés en diamètres plans : seulement la complication supérieure des nouvelles formules de transposition entraverait beaucoup l'exécution habituelle des calculs qu'elle prescrit.

Il est encore plus facile d'étendre aux surfaces le principe analytique propre à notre théorie des centres, soit à Tégard d'une équation quelconque, soit sous la forme spéciale qui convient aux équations algébriques proprement dites. Envers celle-ci, on pourra même remarquer que, quoique la coexistence de trois variables y multiplie nécessairement les combinaisons d'exposants, les conclusions usuelles restent pourtant identiques ; car, après avoir ainsi apprécié tous les cas, on reconnaîtra finalement que les différents termes continuent à changer ou non de signe, parle changement de signe simultané des trois coordonnées, selon que leur degré est impair ou pair. Le déplacement d'origine indéterminé,destiné à la détermination du centre^ sera donc toujours dirigé vers la suppression

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des termes de degré impair daas les équations de degré pair, ou réciproquement.

Si Ton considère, enfin, notre théorie analytique delà similitude, surtout sous sa dernière forme, on reconnaîtra directement que son extension spontanée aux surfaces n'exige aucune modification, et ne suscite d'autre difficulté nouvelle que rinévitable complication des calculs de transposition qu'elle exige envers les cas les plus généraux, son principe restant d'ailleurs évidemment identique. Rien n'empêchera non plus l'application convenable, sous les mêmes conditions fondamentales qu'en géométrie plane, de la méthode subsidiaire destinée à dispenser souvent d'une telle élaboration, et qui acquerra ainsi un plus grand prix en suppléant à des opérations algébriques devenues plus pénibles.

148. D'après l'ensemble de cette rapide appréciation, toutes nos conceptions de géométrie générale relatives à l'analyse ordinaire concernent donc essentiellement l'étude des courbes planes, et ne présentent ensuite, à Tégard des surfaces, qu'une simple extension spontanée, dont l'accomplissement n'exige, au fond, aucun nouveau principe important qui soit vraiment propre à une telle destination : je peux assurer d'avance qu'il en est à peu près de même pour les diverses notions géométriques qui exigent l'analyse transcendante. Ainsi, en suivant ici le môme plan que dans la géométrie plane, sa seconde partie semble d'abord s'effacer naturellement, ou ne devoir consister qu'en une sorte d'imitation facile. En outre, les explications fondamentales que nous avons établies sur la discussion géométrique des équations à trois variables paraissent également tendre à faire spontanément disparaître la troisième partie de ce système didactique, puisqu'elles ramènent, en général, la discussion des surfaces àl'examen de leurs diverses sections planes, sauf les embarras supérieurs que suscite alors

la concentration finale des résultats obtenus. Quel peut donc être ici Tobjet propre de notre étude générale des surfaces, d'où semblent écartés d'avance les deux ordres essentiels de difiicultes analytiques envers la double relation élémentaire entre r^bstrait et le concret?

Pour apprécier convenablement le caractère, éminemment nouveau, de l'élaboration fondamentale qui nous reste à accomplir, il f{iut concevoir, dans le système total des spéculations géométriques, deux points de vue également universels, qui sont profondément distincts, quoique intimement liés, l'un abstrait, l'autre comparatif. Sous le premier aspect, essentiellement propre à la géométrie plane, il s'agit d'instituer les moyens analytiques d'étudier les propriétés générales des formes quelconques : c'est ce que nous avons fait, d'abord envers les lignes, et par suite quant aux surfaces, pour les conceptions sufBsamment accessibles à l'analyse ordinaire, et auxquelles il resterait seulement à joindre les théories plus profondes qui exigent l'analyse transcendante. Au contraire^ le second point de vue^ où Ton apprécie l'application collective de ces diverses méthodes abstraites aux différentes figures géométriques afin de les classer conformémentà l'ensemble de leurs affinités réelles, est jusqu'ici resté presqu'entièrement étranger à la géométrie plane, comme je l'ai plusieurs fois indiqué, surtout au début de sa troisième partie. C'est à la géométrie à trois dimensions qu'il appartenait nécessairement deconstituer le nouvelaspect fondamental de la science géométrique, ultérieurement susceptible, sans doute, d'être convenablement étendu .à la géométrie plane, où il laisse aujourd'hui, à beaucoup d'égards, une immense lacune. L'étude des courbes, plus simple et plus directe, devait essentiellement fonder, sous la grande impulsion cartésienne, la géométrie générale proprement dite, par les travaux graduels des suc-