CHAPITRE PREMIER

Notions fondamentales sur la classification rationnelle des surfaces.

149. L'étude générale des surfaces étant naturellement plus difficile que celle des lignes, on peut s'étonner d'abord que leur classification rationnelle soit pourtant beaucoup plus avancée, à tel point que la géométrie comparée n'est même dogmatiquement ébauchée jusqu'ici qu'à leur égard, comme nous l'avons souvent reconnu en géométrie plane. Mais une appréciation plus approfondie doit entièrement dissiper ce qu'un tel contraste logique semble offrir de paradoxal, en faisant sentir que, par suite de la multiplicité plus étendue et de la variété plus prononcée inhérente à leur complication supérieure, la comparaison universelle des surfaces donne lieu nécessairement à des caractères plus tranchés et à des rapprochements mieux appréciables que ne saurait le permettre celle des lignes. Une pareille opposition fondamentale se manifeste, en vertu de semblables motifs élémentaires, dans la plus éminente partie de la philosophie naturelle proprement dite, d'oti dérivent spontanément les vrais principes de la théorie générale des classifications quelconques, c'est-à-dire dans l'étude des corps vivants, entre le règne animal et le règne végétal : car, le classement des organismes animaux a toujours été beaucoup plus satisfaisant que celui des végétaux, précisément parce que les premiers, étant plus compliqués, et, dès lors, plus multipliés et plus variés, ils comportent des comparaisons plus décisives. Quelque singulier que puisse d'abord sembler ici un

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tel rapprochement philosophique à certains esprits mal préparés,ce n'est pas sansdesseinquejlndique en passant la relation naturelle de ces deux cas scientifiques, dont l'inévitable afBnité logique a certainement influé sur le peu de progrès qu*a faits jusqu'à présent la géométrie comparée, depuis sa fondation, plutôt instinctive que systématique, par la grandeconception de Monge, encore si imparfaitement appréciée : on conçoit ainsi, en effet, que cette sorte de stagnation doit tenir surtout à la vicieuse éducation des géomètres actuels, qui, d'après un empirique morcellement, restent ordinairement trop étrangers aux études les plus propres à développer^ h cet égard, des dispositions vraiment rationnelles.

En opposant directement la notion générale des surfaces à celle des lignes, il est aisé de saisir le motif fondamental de la facilité spéciale que présente nécessairement la première sorte de lieux géométriques à l'établissement d'une classification satisfaisante. Car, les surfaces sont engendrées par le mouvement des lignes, tandis que celles-ci résultent du mouvement d'un simple point. Or, un point n'ayant aucune forme appréciable, les divers lieux qu'il produit ne peuvent différer que suivant la loi de ce mouvement, sans laisser d'accès à aucun attribut caractéristique, qui puisse permettre d'instituer & la fois des distinctions tranchées et desrapprochements généraux, double condition indispensable à tout classement régulier. Les surfaces, au contraire, se rapprochent et se distinguent spon* tanément d'après la nature de leurs génératrices ; puisque la même ligne, mue diversement, peut engendrer une infinité de surfaces différentes, dont les propriétés respectives seront néanmoins essentiellement analogues, en vertu d'une telle communauté d'origine, de manière à constituer aussitôt des groupes vraiment naturels, d'ailleurs plus ou moins étendus. Aussi, en aucun temps, la classification empirique des lieux

algébriques suivant les degrés de leurs équations n'i^*t-elle pu acquérir envers les surfaces autant de consistance provisoire qu'à regard des courbes : tout en remployant, les géomètres, même avant Monge, devaient être conduits, par un instinct confus, à sentir son incompatibilité radicale avec le principe évident qui prescrivait de classer les surfaces selon leur mode de génération, de façon à réunir en un même groupe toutes les surfaces cylindriques, en un autre toutes les surfaces coni* ques, etc., sans considérer les diversités de degré's, ou en ne leur accordant qu^une attention très-secondaire.

150. Pour établir convenablement, d'après ce principe, la conception fondamentale de Monge sur la classification rationnelle des surfaces, il faut en apprécier d'abord la nature géométrique, ensuite l'expression analytique, et enfin constituer l'harmonie nécessaire de ces deux ordres généraux de notions élémentaires.

Sous le premier aspect, nous devons ici nous borner à caractériser rigoureusement l'idée de famille^ seule pensée hiérarchique qui soit encore suffisamment élaborée en géométrie comparée. Deux surfaces ne sauraient appartenir à une même famille géométrique qu'autant qu'elles sont engendrées par une même ligne : mais cette indispensable condition est bien loin de suffire; elle donnerait une notion beaucoup trop étendue de ce premier groupe naturel. Une même génératrice, en effet, peut convenir à une infinité de familles de surfaces différentes, comme on le voit, par exemple, même envers la ligne droite^ d'où résultent indifféremment la famille des cylindres, celles des c<^nes, celle des conoîdes, etc., et une multitude d'autres qu'on ne saurait confondre entre elles, malgré les relations spontanées qui doivent y résulter de cette source commune : une ligne plus compliquée, telle que le cercle, admettant encore plus de variété, doit, à plus forte

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raison, comporter la même remarque. Pour que la famille géométrique soit suffisamment définie, il faut n'y comprendre que des surfaces résultées d'une même génératrice mue suivant la même loi, en laissant seulement indéterminée la directrice qui doit achever de spécifier le lieu produit, en sorte que la diversité de celle-ci constitue réellement Tunique différence essentielle de ces surfaces, dont les équations pourront cependant, à ce titre, offrir successivement tous les degrés algébriques, ou même contenir toutes les fonctions transcendantes. Telle est la juste extension des seuls groupes naturels envers lesquels les conditions fondamentales de la géométrie comparée puissentaujourd'hui être regardées comme suffisamment remplies.

Si cette notion devait rester purement géométrique, elle serait essentiellement dépourvue d'efficacité, puisque les études quelconques de géométrie générale ne sont vraiment susceptibles d*un progrès décisif et soutenu qu'autant qu'elles peuvent se subordonner à des conceptions analytiques, ainsi que nous l'avons pleinement reconnu, en géométrie plane, à l'égard même de recherches beaucoup plus simples. Aussi est-ce surtout dans la découverte du nouveau genre d'équations propre à représenter, non plus des surfaces particulières, mais des familles ainsi définies, qu'a dû consister l'éminent mérite de l'élaboration fondamentale de Monge, avant laquelle les géomètres avaient dû s'élever quelquefois à une pensée tellement naturelle, sans pouvoir lui donner aucune suite importante^ faute d'en avoir conçu la représentation analytique.

Cette indispensable représentation repose sur la considération habituelle d'une nouvelle sorte d'équations à trois variables, contenant une fonction arbitraire, mais dont le sens est néanmoins nettement appréciable, quoique plus étendu que celui des équations ordinaires, où l'indétermination se réduit commune-

ment aux seuls coefficients, en affectant tout au plus les exposants. Il importe d'abord de concevoir abstraitement une telle interprétation des équations de la forme A(^iy>^)='? (/«(^ly^^)) ou, ce qui est équivalent, ^ (fi (x, y, x), fi (a;, y, z)) =a 0, les caractéristiques grecques (p et ^ désignant des fonctions entièrement arbitraires, tandis que les caractéristiques romaines /i et /t indiquent des fonctions déterminées, suivant une notation que je maintiendrai habituellement en toute cette théorie, afln d'y mieux éclaircir le discours analytique. Or, ce qui caractérise directement toute pareille équation à trois variables, c'est la possibilité d'être réduite à deux variables seulement, d'après une transformation toujours assignable. Car, en posant A (^» y 1 ^) *= ^ ôt A (aî, y 1 *) = w, ces deux équations déterminées permettront, en chaque cas, de rapporter deux des anciennes variables aux deux nouvelles t et t/, et à la troisième d'entre elles, suivant des formules exactement définies,

ar=Fi(/,w,z), y=F2{/,w,2).

Dès lors, la substitution de ces formules dans une équation particulière donnée f [x, y, z) =0 devra la rendre spontanémentindépendantede z^ si elle est vraiment susceptible de conformité avec le type proposé, qui constitue une relation, / z= <p (w) ou <j/ (/, ti) = 0, entre / et w seulement. Une telle disparition de 2, qui ne saurait certainement avoir lieu envers une équation prise au hasard, sera donc propre à caractériser, par un irrécusable symptôme analytique, les diverses équations spéciales que ce type peut embrasser, à l'exclusion nécessaire de toutes les autres. Ainsi, les équations qui établissent une relation arbitraire entre deux fonctions déterminées de trois variables ont, en elles-mêmes, une acception nettement appréciable, quoique plus étendue que celle des équations ordinaires.

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lous pouvons maintenant constituer directementlaconcep- 1 fondamentale relative h. la classification rBlionnelledessorîs, en élablissantnne exacte harmonie élémentaire entreles IX notions g^éralee, l'une géométrique, l'antre analytique Tiennent d'être expliquées, de manière k montrerqne ces irelles équations,

r.ff.î)— f(/'s(2:,y,s))ou4.(/i(a:,y.z}, /i(^, y,î)) = 0,

,t naturellement destinées h représenter, non de simples faces, mais des lamilles proprement dites, saivaDtUdéBni-

SECOIfDE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 499

lion précédente. Il faut, pour cela, discuter le lieu géométrique d'une telle équation, dans la vue d'y saisir ce qu'il offre de vraiment caractéristique, abstraction faite de toute hypothèse particulière sur lanaturedela fonction arbitraire f ou ^. Or, à cet effet, il suffit de remarquer que, quelle que soit celte fonction, l'équation proposée est composée de façon à rendre inévitablement constante Tune des deux fonctions déterminées toutes les fois que l'autre sera supposée l'être. Si donc oncon* çoit le lieu quelconque de cette équation coupé par une suite de surfaces auxiliaires résultées de l'équation /i [x^ y, zj^^a^ où a désigne un paramètre arbitraire, la seconde équation des sections correspondantes sera nécessairement fi{x, y, z)^=»b^b étant un autre paramètre analogue, dont la relation au premier reste seulement indéterminée, tant que la fonction ^ ou ^ n'est pasdéfinie. Ainsi, toutesleshypothèses relatives à cette dernière fonction auront^^ela de géométriquement commun que les surfaces correspondantes, malgré leurs inévitables différences, seront pourtant toujours composées des lignes représentées par les équations /i [x^ y^z)^=»a^f% [x^ y, z] »» b. La nature de ces génératrices, où les constantes^et 6 restent seules arbitraires, estentièrement déterminée, ainsi que la loi de leur mouvement; la diversité réelle du lieu géométrique, d'après l'indétermination de la fonction 9, pourra toujours être réduite à n'affecter que les directrices successivement combinées avec cette commune génératrice, puisque chaque relation des paramètres équivaudrait sans cesse à une condition de rencontre entre cette courbe mobile et chaque courbe fixe. Nous sommes donc conduitsà regarder un tel type analytique comme représentant une véritable famille de surfaces, suivant l'exacte définition préalable de ces groupes géométriques : on ne peut plus conserver aucune incertitude sur la correspondance fondamentale des deux modes d'indétermination, l'un concret, l'autre abstrait.

00 GfeOHÊTRIE DANS l'eSFACB.

L'analyse Iransceadanle complète heureusement cette coelation nécessaire, en permettant de remplacer ces équations irectes conteuant une fonction arbitraire, par des équations idirectes entre les deux dérivées partielles de ia variable déendaote, où cette fonctionest entièrement éliminée, etquideiennent dès Lors mieux calculables, sans qu'une telle transformaon altère d'ailleurs aucunemenll'interpré talion géométrique, [ais. quoiqu'un tel complément général soit certainement inispensable pour bien apprécier la puissance et la fécondité de

1 grande élaboration de Monge, nous pouvons déjà cepenant, avec la seule analyse ordinaire, constituer ici esseniellement la classification rationnelle des surfaces, de manière

retirer immédiatement, de cette intéressante étude, une im-^ ortanle efficacité scientifique, aussi bien qu'une haute utilité )gique.

151. D'après cette nouvelle idée mère, les familles de su^ ices peuvent être multipliées, d'une manière presque machiale, avec autantde facilité que les espèces de courbesengéolélpïe plane, en attribuant, même au hasard, diverses formes nalytiques aux deux fonctions, fi et /«, qui caractériseront, a chaque cas, le modede génération. Quoique ceshypothèses iiccessives puissent quelquefois coïncider géométriquement, ar suite de l'infinie diversité propre à la représentation ana- 'tiqued'unelignedans l'espace, on conçoitcependant qu'elles )urniront le plus souvent des familles vraiment distinctes, ont la plupart n'auraient jamais été considérées auparavant, L auraient encore moins reçu un nom propre, qui n'a été acsrdé jusqu'ici qu'à quelques familles usuelles. En chaque cas, i discussion générale du type analytique proposé, suivant la larcbe fondamentale que je viens d'établir, caractérisera tou- >urs nettement, avec plus ou moins de facilité d'ailleurs, t famille correspondante.

Soit, par exemple, Téqualion a: + y — z=<p {x — y+z). Les équations de la génératrice seront donc x + t/ — z^=a^ X — y +2? = 6; or, chacune d'elles représentant un plan de direction constante, dont la distance à Torigine reste seule ar> bitraire, il s'ensuit que la famille proposée est engendrée par une droite parallèleà la ligne fixe x-^y — ^=0, x — y+ 2=0. Ainsi, quelle que puisse être la fonction ^, Téquation donnée a pour lieu géométrique une surface cylindrique ; et ces deux dernières équations, ou leur équivalent plus simple x =» 0, y =sz, indiquent que ce cylindre est toujours parallèle à la bissectrice de Tangle de deux des axes coordonnés.

Considérons encore Téquation un peu plus compliquée

OÙ la génératrice sera représentée par x + y+ z = ^^ X — .V = bz. On y reconnaît aussiU^t une ligne droite, mais dont la direction n'est plus invariable. En cherchant à saisir ce que la génératrice otfre de fixe, afin d'apprécier la famille géométrique correspondante, il est aisé de découvrir que ces surfaces résultent toujours du mouvement d'une ligne droite parallèlement à un plan donné a: + y + ^ = 0 et le long de la bissectrice de l'angle des deux axes horizontaux.

Examinons, en dernier lieu, l'équation 2 = ^ [xy), relative à une famille qui n'a pas été signalée. Sa génératrice aura pour équations js^aa, xy =»& ; ce qui annonce une hyperbole dont le centre parcourt Taxe vertical, tandis que ses asymptotes demeurent parallèles aux axes horizontaux, son sommet se mouvant d'ailleurs arbitrairement dans le plan bissecteur de deux des plans coordonnés.

Je ne saurais trop recommander au lecteur la multiplication spontanée de ces nouveaux exercices de géométrie analytique.

502 GÉOMÉTRIE DANS L'BSPAGE.

les plus propres de tous à faire profondément sentir la relation nécessaire de l'abstrait au concret, qui s'y trouve naturellement plus vaste et en même temps plus condensée qu'en aucun autre genre de discussion géométrique des équations. Sans jamais dépasser, envers les deux fonctions caractéristiques, des formes suffisamment simples, comme Texige la difQculté supérieure de telles appréciations, dont le résultat final manquerait autrement de la netteté convenable à leur destination logique, il sera facUe de varier assez les familles correspondantes pour acquérir bientôt un sentiment usuel de la conception fondamentale de Monge.

152. Ce grand principe prescrit directement la marche générale suivant laquelle on doit toujours procéder à la formation de Téquation collective propre à l'ensemble de chaque famille, quand elle sera géométriquement définie. Il sufBra d'élaborer analytiquementcette définition, de manière à obtenir les équations de la génératrice avec deux constantes arbitraires seulement. Une telle réduction sera nécessairement toujours possible, en ayant égard à toutes les circonstances caractéristiques, si ce groupe naturel est convenablement institué, c'est-à-dire, s'il a le juste degré d'extension qui correspond à une famille proprement dite. D'après cette condition préalable l'équation collective delà famille se formera toujours en résolvant ces deux équations de la génératrice relativement aux deux paramètres, ainsi rapportés aux coordonnées variables, afin d'indiquer entre ces deux fonctions une relation totalement arbitraire.

Quand l'ensemble des conditions proposées laissera plus de deux paramètres arbitraires dans les équations générales delà génératrice, ce symptôme analytique indiquera sans équivoque que le groupe considéré est trop vague pour l'état présent de la géométrie comparée, et comprend réellement une infinité de

familles de surfaces. Lorsque, au contraire, ces équations pourront être amenées à ne plus contenir qu'un seul paramètre variable, il est évident que le lieu géométrique, cessant de constituer une véritable famille,se réduira à une espèce déterminée, dont Téquationse formerait en éliminant, entre ces deux équationsy cet unique paramètre, de manière à ne laisser rien d'indécis dans la composition analytique, sauf les valeurs des coefficients.

Pour déterminer, en sens inverse, si une surface particulière donnée appartient ou non à une famUle donnée, les règles générales prescrites au n° 150 permettront toujours de le décider, en les appliquant de façon à reconnaître si Téquation spéciale proposée peut ou non rentrer abstraitement dans le type analytique correspondant. Telle est, à cet égard, la seule question judicieuse qui puisse èlre réellement posée. Car, demander à quelle famille appartient chaque surface particulière, constitue évidemment un problème trop indéterminé, puisque la même surface peut être rangée parmi une infinité de familles différentes, d'après les divers modesde génération dont elle est toujours susceptible ; quoique son étude spéciale puisse ensuite exiger, entre ces divers points de vue géométriques, un choix unique, qui d'ailleurs variera suivant la nature des recherches poursuivies. On doit regarder toute surface comme pouvant être engendrée successivement par chacune des lignes qu'on y peut tracer. Mais cette inévitable indétermination n*altère nullement la réalité fondamentale de notre conception géométrique sur les familles de surfaces, toujours caractérisées par la nature de la génératrice et la loi de son mouvement ; car, si chaque surface peut contenir une infinité de courbes distinctes, il en existe encore davantage qui n y peuvent jamais être situées : le cercle est, par exemple, la seule courbe plane qu'on puisse décrire sur une sphère.

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GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGE.

Après avoir établi, dans ce premier chapitre, toates les notions essentielles relatives au classement rationnel, à la fois analytique et géométrique, des surfaces quelconques, U nous reste à mieux caractériser ces principes généraux par leur application spéciale à Tétude successive des principales familles qui ont été jusqu'ici régulièrement introduites en géométrie comparée.