CHAPITRE IL

Théorie des surfaces cylindriques.

153. Cette famille, la plus simple et la plus usuelle de toutes, comprend les surfaces engendrées par une droite de direction fixe, glissant sur une ligne quelconque. Les équations naturelles de cette génératrice, x = az + a^ ^=62 + 6, sont donc immédiatement adaptées à la formation de Téquation collective, d'après les principes fondamentaux du chapitre précédent. 11 suffit, pour cela, d'y concevoir fixes les deux coefiBcients angulaires a* et 6, en supposant variables les seuls paramètres linéaires oc et 6. Puisque les constantes arbitraires s'y trouvent ainsi réduites spontanément à deux, on formera l'équation de la famille en dégageant, suivant la règle^ a et 6 en x^ y, z^ afin d'indiquer, entre ces deux fonctions, une relation arbitraire, x—az=<p [y—bz), ou ^ {x^-az, y^bz)= 0. Telle est donc l'équation générale des surfaces cylindriques, ou tel est du moins le type analytique le plus simple auquel on puisse ramener toute surface de cette sorte : car, on conçoit d'ailleurs, en principe, que, d'après l'infinie diversité que

comporte le couple analytique propre à la représentation de chaque ligne dans Tespace, Féquation collective convenable à chaque famille pourra prendre une infinité de formes distinctes quoique équivalentes, selon le mode adopté pour formuler sa génératrice. Mais toutes ces formes diverses sont toujours susceptibles de coïncider finalement, par suite des transformations déjà expliquées au sujet des lignes. On choisit donc, envers chaque famille, le mode le plus simple^ pourvu qu'il ait une suffisante généralité ; il correspond au meilleur couple analytique de sa génératrice, et on l'emploie habituellement à caractériser les surfaces considérées. C'est en ce sens que nous consacrerons essentiellement le type analytiques? — az=<f{y — bz) à la représentation spéciale des surfaces cylindriques.

Quand on voudra reconn«dtre, d'après ce type, si une surface donnée/'(a:, y, 2)=0 appartient ou non à cette famille, il faudra donc, suivant la règle fondamentale du chapitre précédent, y changer a: — ajs et y — d^ en ^ et w, c'est-à-dire y substituer t '\- az eiu -\- bz bm lieu de x et y, afin de voir si le résultat f{t+az, w + é^f , z) = 0 peut devenir indépendant de z. Mais il importe, à ce sujet, d'apprécier ici un supplément d'explication que je n'ai pu suffisamment signaler dans la doctrine générale, parce qu'il n'a\Lrait pas été assez nettement saisissable : il consiste en ce que cette disparition de z ne saurait jamais être entièrement spontanée ; elle supposera toujours quelques conditions relatives à la disponibilité des paramètres fixes, a et d, de la génératrice. Aucune surface, en effet, n'est cylindrique en un sens quelconque, même le plan qui, exceptionnellement, se trouve l'être en une infinité de sens : c'est toujours une partie essentielle de la question que de déterminer la direction, habituellement unique, des génératrices de chaque cylindre. Il faut donc concevoir la disparition de z, dans l'équation finale f {t + az, u + bz, 2)=0, comme ne

GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGE.

pouvantjamaiss*accomplir qu'en disposant convenablement des constantes a et d, qui permettront d'abord d'y annuler à volonté deux des termes distincts en z qui les contiennent : après avoir ainsi disposé de ces paramètres, il faudra que leurs valeurs réelles annulent aussi le coefBcient total de tout autre de ces termes, sans quoi la surface ne sera pas cylindrique. Si toutes ces conditions, au contraire, y peuvent être simultanément remplies, sa nature cylindrique sera constatée, et ]*on connaîtra la direction de ses génératrices : il ne restera plus, pour concevoir nettement sa génération, que de lui assigner une directrice sufBsamment simple, qui sera le plus souvent Tune des traces de la surface sur les plans coordonnés.

Considérons, par exemple, Téquation

La substitution prescrite y fournira Téquation finale

(a« + è«-2a-26+2)î5»+{2a-2) tz+(^b-2)u% + t*+u^= 1.

Pour que ce résultat devienne indépendant de 5?, d*après certaines valeurs de a et ô, il faut poser 2é = 2, 2a = 2, et a*4-6^=2a+26 — 2, les deux termes en tz et en icz ayant dû être ici traités comme distincts, quoique contenant la même puissance de ^, puisque les nouvelles variables t et une sauraient être confondues parmi les coefBcients, afin que a et A restent vraiment constants. D'après l'accord spontané de ces trois conditions, la sm'face proposée est certainement cylindrique, et les projections de ses génératrices sont parallèles aux bissectrices des angles XZ et YZ. Quant à la base du cylindre, on pourra choisir, par exemple, sa trace horizontale, qu'indique l'équation primitive en y faisant z «=» 0, d'où résulte le cercle x^ + y^= i. Au reste, on peut remarquer^ en général, que, dans la théorie des surfaces cylindriques, cette

trace s'obtiendra toujours spontanément, en même temps que la direction des génératrices, en reconnaissant la nature de la surface : car, Téquation finale précédente, lorsque z j a. disparu, représente géométriquement la trace horizontale de la surface proposée, entre les nouvelles variables t et w, alors considérées, suivant leur interprétation concrète, comme les coordonnées de la trace horizontale de la géjiératrice.

Tous les calculs ainsi prescrits pouvant également s'accomplir si les coefficients de Téquation donnée étaient indéterminés, pourvu que les exposants ne le fussent pas, cette méthode serait susceptible de dévoiler sous quelles conditions analytiques la surface correspondante deviendrait cylindrique. Quand le développement de l'équation finale

f {t -h az, î/ 4- iz, z) = 0

aurait déterminé a et 6 d'après deux des termes en z^ il faudrait que leurs valeurs, d'ailleurs réelles, annulassent chacun des autres, d'où résulteraient autant de relations nécessaires et suffisantes pour rendre cylindrique le lieu proposé. Dans l'équation générale du second degré, par exemple,

kx^ + Bi/« + Cz^ -{-Dxy-^ Ex% + Fyz -hGx-hYly -\-Kz = i,

on trouverait ainsi, après un calcul un peu long mais facile, deux relations entre les neuf coefficients, puisque les termes distincts en z s'y trouveraient au nombre de quatre, contenant l'un z^^ un autre tz^ un troisième i/z,et un derniers; seulement.

154. Il faut maintenant considérer, envers les surfaces cylindriques, la question générale qui consiste à déterminer la fonction arbitraire propre à l'équation collective de chaque famille d'après les équations de la directrice.

Gomme cette fonction indique ici la relation, d'abord indéterminée, entre les paramètres variables a et 6 de la généra-

908 GÉOUÉTRfB UAXS l'eSPACR.

ljiCB,x='az + a etyB=dz + S,loul se réduit à découvrir leur liaison d'après la conditioD de rencontre perpétuelle de cette génératrice avec la directrice donnée,

/l (x, y, =) = 0 et A (X, y, z) = 0. Or, cette condition se formulera, suivant la marche ordinaire, par l'élimination des trois coordonnées x, y, z, entre ces deux couples simultanés. Une fois obtenue, la relalion des paramètres i}) (a, S) =~ 0 fournira aisément l'équation de la surface,, en les y remplaçant par a; — az et y — bz.

On peut donner h ce calcul une forme technique très-simple, qu'il convient d'indiquer ici, quand on a pris spécialement pour baseducylindre proposé sa trace horizontale, /■(3rjy)=0,î^0. Car, l'élimination préparatoire s'accomplit alors sansqu'il faille spécifier la fonction f, relative à l'équation plane de cette courbe, et la relation des paramètres linéaires devieul f [ai,€)^0, d'où résulte, à l'égard du cylindre cherché, l'équation / {a: — az, x — é2j=a0. Ainsi, on passera analyUquement d'une telle base au cylindre correspondant, en se bornant k y changer a: en x— 02 et y en y — bz ; ce qui permet de composer très-facilement des équationscylindriques, d'après les diverses courbes planes, algébriques ou transcendantes. En partant, par exemple, des équations

y* + a:'-=r', y^^mx-, xy=p', y^c*, y=isiax,ete. on formerait aussitôt les équations

{y—bz]*+(x~azY^r\ (y — bzy = m{x — az), (x~~az}{y — ia)=p', y — bi,=c'-'', y — b^^sia{x — â£),etc. pour les cylindres circulaire, parabolique, hyperbolique, logarithmique, trocholdique, etc.

Nous devons, enlln considérer aussi la détermination de la Tonction arbitraire, de manière à spécifier l'équation du

cylindre, quand cette surface, au lieu de passer par une courbe donnée, doit être circonscrite à une surface quelconque donnée /(â?, y, z) =0. La difficulté consiste encore à découvrir la relation des paramètres variables a et 6 qui rendra la génératrice, a: = ^2 + a, y = ^2 + 6, tangente à une telle surface dans chacune de ses positions : on convertira ensuite cette liaison en équation du cylindre, en y changeant, comme ci-dessus, a et 6 en a: — azeiy — bz. Or, pour formuler ce contact, d'après les seules règles de la géométrie plane, il suffit de le réduire à celui de la droite considérée avec lasectiondela surface par Tun quelconque des plans qui la contiennent. Si Ton choisit, à ce titre, Tun de ses plans projetants y=bz-{.€^ la génératrice sera suflisammentconstituéetangenteàla courbe correspondante, en établissant la même relation entre leurs projections respectives sur le second plan vertical. Tout se réduit donc à exprimer, dans ce dernier plan, suivant l'un ou Tautre des deux modesgénéraux prescrits à ce sujet en géométrie plane, que la droite x = az + a touche la courbe / {x, bz + 6, z)= 0, d'où résultera la relation des paramètres ^ (a, 6) = 0, et, par suite, l'équation du cylindre cherché ^ (x — (iZy y — bz) = 0.

En employant le principe des racines égales pour formuler ce contact plan, ce qui d'ailleurs n'est pas toujours préférable, comme on sait, on serait donc amené à chercher la condition d'égalité entre deux racines de l'équation /(az+a,6z+ê,2)=0. Sous cette dernière forme, la méthode pourrait être directementconçue,indépendammentdes considérations précédentes, puisqu'une telle équation, immédiatement appréciée, tend à déterminer l'intersection de la génératrice avec la surface donnée, en sorte que, à ce titre, deux de ses racines doivent coïncider en cas de contact.

Ce problème général comporte spontanément une application

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dt romiire ainsi fjttêe. Toat dépend doac. à crt frafd. 1 d^nninatioo do cilindr? circonçrriL doDl r^qoatioii ^•^Mv^raent omLin*^ aver «îles de la eoHaw éclairfe d I '^arl'ice d'ombre fera aus^iU^t connaître les dem liçnes ^ofi'îUluenl le sujet ç'^ométriqne d'ooe lelle recherche, iven lacourbe de conLacl. îl n'est pas inatilederemarqaer D P«»urTait l'obtenir direclemenl avant de Ironver le cylinfrtde maniffre m^meà faciliter ensuite sa recherche, en r nt le lien de« points de la surface proposée ofi leplanlan-

est parallèle: aux rayons lumineux x^^az. y='b:; car, ■1;h le type général de l'équalioD du plan tangent (n* 147].

(*—»■; Al + (y — Vv fn + i^—^j Tn =0, iralli^liflme fournirait aisément la relation

;primanl que la droite correspondante x — x,^a{z — ;,), ij,T^ b (s — S|) est entièrement contenue dans ce plan. Les lions de la courbe cherchée seraient donc

f [x. y, s) = 0. af ^ + VV + r. = 0. ourrait dëslors faire rentrer cette question dans laprécé- !, on considérant celte ligne commeune directrice donnée 'lindre clicrcli^. D'après le mode analytique déformation

delà seconde équation^ son degré sera nécessairement inférieur d'une unité à celui de la première ; d'où Ton peut nécessairement conclure, envers toute surface du second degré, que sa courbe de contact avec un cylindre circonscrit sera toujours plane, et, par conséquent, une section conique.

Soit, par exemple, Tellipsoïde -- -h ^ -f 2j' = 1, éclairé par

des rayons lumineux a: = ;?, y = -5, et qu'il faille trouver Tombre portée sur le plan des xy. Cherchons d'abord le cylindre circonscrit suivant la première méthode, et en y employant le principe des racines égales, ici très-convenable ; après avoir substitué z + a et z + 6 au lieu de x et y, la relation de contact sera alors QOa^ -f 456* — 18 «6 = 441 ; elle fournira, pour ce cylindre, l'équation

90a:» 4- 45y« + 117z« — ie^xz—l^i/z—iSxy=AAi, d'où

résultera la courbe d'ombre cherchée 90aî^ + 45y» — 18yrc =441 ; quant à la courbe de contact, le lecteur pourra s'exercer à constater, en combinant convenablementles équations du cylindre et de l'ellipsoïde^ que, conformément à la remarque précé-

dente, elle appartient au plan - + | + s «i o.

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