CHAPITRE III

Théorie des surfaces coniques.

155. Dans cette seconde famille, la génératrice est encore une ligne droite, mais assujettie à tourner autour d'un point fixe, en gUssant d'ailleurs sur une courbe quelconque. Si donc

S, y désîgnentles coordonnées de ce sommet donné, leeéqnains de celte génératrice,

x — « = a{z — y), y 6 = i{3 — f), i contenant plus que denx paramètres variables, les deux letBcieDtsangolairesaetÂ, se troaverontspontanémeQtadaps à la Formation immédiate de l'équation collective, qui sera, ir conséquent, en général, sous sa forme la plus simple,

'Z1?, (ÏS1Ê\ oabient ('-=^, '—^-0.

onr employer ce type analytique à vérifier la nature conique ; chaque surface particulière / {x, y, z) = 0, il faudrait, livant nos règles fondamentales, remplacer ;r et ^ par fa (s — y), w + 6 (2 — -jr)' *fi° ^^ rendre cette équation spéale /■(/ + « («—f), M+6(z— ï),3)=0 entièrement indépentctede ^, en disposant convenablementdes constantes B,€, y, slatlves au sommet du cône. Dans l'équation complètedu seind degré, par exemple, on aurait ainsi à annuler, comme au lapitre précédent, les termes en z*, en tz, en uz et en z seul ; ais on disposerait maintenant de trois paramètres, en sorte le ces quatre conditions n'aboutiraient ici qu'à une relation lique entre les neuf coefficients indéterminés, tandis que le is cylindrique en exigeait deux. Au reste, envers une équa- 9n quelconque, la figure cylindrique du lieu correspondant ipposera toujoursune condition de plus que la forme conique, lisque, en regardant le cylindre comme un cône dontlesomlel s'éloigne àrinlîni,il faudra joindre aux conditions coniques ae relation nouvelle propre à rendreinfinies les coordonnées 1 sommet ou l'uned'elles, en annulantle dénominateurcomuD ou partiel.

L'opération analytique propre à vérifier si une surface mnée appartient à la famille proposée est donc ici naturelle-

ment plus pénible qu'au chapitre précédent; mais elle comporte une heureuse simplification générale, en ayant égard à un théorème important de géométrie comparée, suggéré parle type conique que nous venons d'établir, quand on y apprécie les modifications qu'il éprouve en supposant l'origine des coordonnées placée au sommet du cône. Cette équation collective

devient alors - = (p ( - j ou if f - , - j = 0. Or, sous cette forme,

la vérification proposée s'accomplirait aisément, puisqu'elle se réduirait à substituer tz et uz, au lieu de or et y, dans chaque équation particulière, afin d'examiner si z y disparut spontanément. D'après ce principe, il suffit de concevoir cette substitution envers un terme quelconque PiX^y^zi^ qui deviendrait ainsi Ai™ ««. xw-H»-W, pour reconnaître aussitôt qu'une telle élimination suppose à tous les termes un même degré, estimé, suivant le mode algébrique ordinaire, par la somme des exposants des trois variables.G'est ainsi que Monge a découvert naturellement cette belle proposition générale : toute équation homogène à trois variables représente nécessairement un cône dontle sommet est à l'origine des coordonnées; et^ réciproquement, toute surface conique est susceptible d'une équation homogène, quand on transporte l'origine des coordonnées au sommet du cône. Quoique la géométrie comparée ail été jusqu'ici bien peu cultivée, une telle relation est très-propre à faire sentir la puissance du nouveau mode analytique sur lequel Monge a fait reposer l'étude collective des diverses familles géométriques ; car cette liaison remarquable entre la forme coniquede la surface et la composition homogènede l'équation, qui découle avec tant d'évidence et de simplicité de ce système d'appréciation, n'aurait pu s'apercevoir, au contraire, de l'ancien point de vue, où les différents cônes resteraient dispersés dans tous les degrés algébriques, que par suite d'une lente et

514 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGE.

pénible induction, que rien ne conduisait naturellement à former avant que toutes les surfaces assujetties à une même génération eussent été analytiquement envisagées sous un aspect commun.

D'après cette propriété caractéristique, on pourra reconnaître aisément la nature conique de chaque surface donnée / (a:, y, z) =0; car, si cette équation est homogène, la question se trouvera ainsi résolue immédiatement; si elle ne Test pas, il restera à déplacer Torigine de manière àla rendre telle, en y annulant tous les termes distincts dont le degré est inférieur au sien, par le changement accoutumé de x^ y, x en ^ + «1 y + ^> * + Y» de manière à déterminer, dans ce dessein, les constantes disponibles a, ^, y, qui indiqueront le sommet du cône. Pour l'équation générale du second degré, par exemple, il faudrait faire alors disparaître les trois termes du premier degré et le terme constant, d'où résulterait, comme suivant le premier mode, mais bien plus simplement, une relation nécessaire entre les neuf coefficients indéterminés, après avoir éliminé les coordonnées du sommet.

156. Considérons maintenant, de même qu'envers les cylindres, la spécification de l'équation collective des cônes, quand on donne la directrice de la surface. Entre les équations de cette base, fi (x, y, z) = 0, /s («, y, z) =» 0, et celles de la génératrice, a; — a = a (î5 — y), y — 6 =?= é (z — y)î îl suffira encore d'éliminer x, y^ Zy afin de former la condition de rencontre perpétuelle ^ (a, b) = 0, d'où l'on passera aussitôt à l'équation du cône, en y changeant les paramètres variables a et fi en

et^^ .

Je prendrai spécialement pour exemple à ce sujet le cône qui se rapporte à la théorie des mappemondes, quand ony cherche la perspective d'un cercle quelconque de la sphère terrestre,

supposé VU à travers un certain méridien dont le pôle indiquerait la position de ToBil, suivant le mode de projection géographique le plus usuel. En plaçant Torigine des coordonnées au centre de la terre, dirigeant Taxe des z vers les pôles terrestres, Taxe des x suivant le méridien ainsi choisi, de manière à faire passer Taxe des y au point de vue, les équations d'un cercle quelconque du globe, maintenant érigé en base du cône cherché, seront x* -fj/* 4- »*«= r^ et :6 = oc + fty + c. Celles de la génératrice étant ici ic=m» et y = 112 + r, la condition de rencontre deviendra finalement

Ainsi, Téquation du cône cherché sera

En y faisant y «»0, on en déduira Téquation de la perspective demandée

br ■\' c br -{- c c -h br

Sa composition indique aussitôt la principale propriété d'une telle projection géographique, où tout cercle terrestre est toujours représentéaussi par un cercle, commeles anciens l'avaient découvert d'après la considération des sections anti-parallèles du cône circulaire oblique. On pourrait y constater également, mais à l'aide d'un calcul pénible dont rien ne suggérerait naturellement la pensée, la remarque accessoire, d'ailleurs peu utile, sur l'aptitude de cette perspective à maintenir sans altération l'angle de deux cercles quelconques. En achevant l'appréciation spéciale de l'équation précédente, on trouvera, pour les coordonnées du centre et le rayon du cercle ainsi obtenu, les formules

ar^ r^ r

br-\- c ftr-fc br -\' c^ ^ ^

s GÉOMÉTRIE DARS L'eSPACE.

ni la dernière est senle usitée engéograpbie.etnniqnement ime envers les parallèles ttréqualeur on les méridiens. Si on ftit les bypothèses z=c, vespx.correspondantesàcesdeux s ponr l'équation du plan dn cercle considéré, on en déduira ;ément les règles ordinaires de construction des arcs de cercle i s'y rapportent : lenrs rayons seront ainsi respeclivement isurés par la cotangente de la latitude ou par la sécante de longitude.

La formation spéciale de l'équation d'un cAoe dont la direcce est donnée se simplifie beaucoup, comme dans le cbapitre fcédenl, quand on prend pour base la trace borizontale de surface. Car, l'élimination des trois coordonnées variables ut alors s'accomplir aisément entre les équations delagénéxice, X — a^ û (a — t), y — 6= 6 (s — f), et celles d'une le directrice/" {a:,y) = 0,s^O : il en résulte la relation gérole des deux paramètres a et b, f{<x — a-f, G — tï)^0;d'où

rive l'équation du cône cherché f ( — , — ) == 0,

\ 2— T »— ï / isi déduite l'équation plane de sa base par le changement de

aZ — rX €z — yV , ,

jty en et . En parlant, par exemple, du

Tcle y'-^x* = r*, on aurait, pour le cOne circulaire,

(6ï — Tp)* + (ax — T^)'= r* {» — y)\ s'il est droit,

t CE s'anniilant alors.

Au sujet de cette application particulière, il faut ici noter la sition normale de l'apprécialion des courbesdusecond degré . tnme sections coniques, que nous n'avons pu trùter en géo- Strie plane que d'après un arlillce exceptionnel. Pour établir tte notion dans son entière généralité, envers tout cône cir-

SECONDK PARTIE, CHAPITRE TROISIÈMK. 517

culaire, droit ou oblique, il sufBrait de traiter chacune des équations précédentes par la méthode générale que nous avons destinée à rétude des sections planes d'une surface quelconque, et qui maintenant fournirait aussitôt une courbe du second degré. Mais on sera même entièrement dispensé' derexécution d'un tel calcul, si Ton se borne, à cet égard, à la proposition principale, consistant, au fond, dans la simple connaissance du degré de la section, sans s'occuper d'ailleurs de sa nature parabolique, elliptique, ou hyperbolique, assez indiquée, en chaque cas, par la situation du plan. Car, du point de vue propre à lagéométrie analytique à trois dimensions, il est clair, en général, indépendamment delà méthode des sections planes, que toute surface algébrique d'un degré quelconque ne peut être coupée par un plan que suivant une courbe du même degré, puisque cela est incontestable pour les plans parallèles aux plans coordonnés, et qui peuvent représenter, à vrai dire, des coupesquelconques, en considérant l'équation la plus complète de chaque type, dont la composition convient spontanément à toutes les situations possibles du lieu. Suivant ce principe évident, toutes les sections planes du cône circulaire sont des courbes du second degré, par cela seul que cette surface fait partie de celles de ce degré.

Dans la théorie des cônes, comme dans celle des cylindres, on peut, enfin^ déterminer la fonction arbitraire en concevant que la surface doive être circonscrite à une surface quelcon-» que donnée f{x^ y, i) = 0, qui remplacerait la directrice correspondante. La solution s'accomplira delà même manière, en cherchant la relation des deux paramètres variables propres à la génératrice, x — « c=3 a (2 — y)^ y — 6 =1 6 (z — y)» Çuand celle-ci doit toucher constamment la surface proposée, sans qu'il faille ici ajouter aucune explication nouvelle à celles du chapitre précédent sur le mode de formulation d'un telcontact«

tnléT pr->ll^oi« s^*;%l ccaii^irten;!, «nifrs les lie apj,l;îa::oE a-;a ic-:i:Lf Eiîar^Ze^-î ^■z^'.^icnn- Z.S la tfétencir.1- in z^oaeti ^^ de? o:^>rfts, .;:iiad<Mi

s la Itiicière »rtli-:ir-e. On pe:;l aussi lappli-^*r à T de^licatioa praii ^e. qui n'ea cbanreni; Lall^meot B.en OLîidtrant la ijKeïii'jQ d*s co:;:';-ur5 a^pomilE :r=p«lîveî, o-i C D^ s'agit jamais ipie de trocTer !a s«- [ilan da Lab'.r^an, ou m^me de la sa.-f>i'« q^elcopijae endrait lien, par le cùae qui. ayant ^«3 somnwt an Tue, serait circoDâcril an f orps obs^rr^. En ron oa as. loate la di^^culié math^matji^e d'uce telle rese réduirait éTidemment à la connaissance du cdoe Ht,