CHAPITRE IV

Théorie des surfaces de réTOlution.

157. Le titre habituel des surfaces qui composent cette troisième famille, et le nom de corps ronds qui en offrirait Féquivalent plus rapide, se rapportent à leur principale propriété pratique, consistant en ce que chacune d'elles peut résulter de la rotation d*une certaine ligne autour d'un axe fixe auquel elle est invariablement liée. Mais, quelle que soit, dans les arts géométriques, la haute importance d'un tel caractère, qui permet souvent, envers ces surfaces, unmode de construction très-facile, il présente, sous l'aspect théorique, le grave inconvénient de ne pas appeler directement l'attention sur la véritable génératrice propre à cette famille : car, le méridien de chaque surface de révolution, variable d'un corps rond à l'autre, n'en constitue, au fond, que la directrice. Suivant nos principes fondamentaux de géométrie comparée, la génératrice devant toujours être commune à toutes les surfaces d'une même famille, cette propriété usuelle ne saurait fournir la définition rationnelle de ce nouveau groupe naturel, où le cercle est réellement la seule ligne uniformément reproduite, comme y résultant des coupes perpendiculaires à l'axe, quelle que puisse être la figure des méridiens.

D'après cette indispensable rectification préliminaire, les surfaces considérées ici sont donc engendrées par un cercle dont le centre parcourt une droite fixe, tandis que son plan reste constamment perpendiculaire à cette droite, son rayon

prës les seules mélhodes de la géométrie plane. Cette rela- Q <]' {a, b)^ 0 éUnt une fois obtenue par un procédé quelique, on en déduira l'équation du cane cherché, comme si lîrectrice était' donnée, suivant le changeaient accoutumé

a et ^ en et . La courbe de contact de ce cône

as — Y s — ï ic la surface sera dès lors représentée analyliquement, en icevant simultanéœentleurs équations respectives. Au reste, te courbe pourrait aussi Être déterminée, indépendamment cône, et de manière même àen faciliter la recherche, àlitre directrice, en y voyant encore le lieu des points de la surface iposëe où le plan tangent passe au sommet donné, d'où réterait, & son égard.Ia seconde équation

(î-t) n + (y-e) n+ix-a) r^= 0.

;e dernier problème général comporterait, envers les les, une appEcation non moins naturelle que pourlescylins, dans la détermination géométrique des ombres, quand on ipose tous les rayons lumineux émanés d'un même point ; ]ui représenterait sufllsamment, en beaucoup d'occasions, laa de la lumière artificielle. Ou peut aussi l'appliquer à I autre destination pratique, qui n'en changerait nullement lature, en considérant la question des contours apparents les perspectives, où il ne s'agit jamais que de trouver la sec- 1 du plan du tableau, ou même de la surface quelconque en tiendrait lieu, par le cûne qui, ayant son sommet au nt de vue, serait circonscrit au corps observé. En l'un ou itre cas, toute la difficulté mathématique d'une telle reirche se réduirait évidemment à la connaissance du c6ne lonecrit.