CHAPITRE IV

Théorie des surfaces de révolution.

157. Le titre habituel des surfaces qui composent cette troisième famille, et le nom de corps ronds qui en offrirait l'équivalent plus rapide, se rapportent à leur principale propriété pratique, consistant en ce que chacune d'elles peut résulter de la rotation d*une certaine ligne autour d'un axe fixe auquel elle est invariablement liée. Mais, quelle que soit, dans les arts géométriques, la haute importance d'un tel caractère, qui permet souvent, envers ces surfaces, un mode de construction très-facile, il présente, sous l'aspect théorique, le grave Inconvénient de ne pas appeler directement l'attention sur la véritable génératrice propre à cette famille : car, le méridien de chaque surface de révolution, variable d'un corps rond à l'autre, n'en constitue, au fond, que la directrice. Suivant nos principes fondamentaux de géométrie comparée, la génératrice devant toujours être commune à toutes les surfaces d'une même famille, cette propriété usuelle ne saurait fournir la définition rationnelle de ce nouveau groupe naturel, où le cercle est réellement la seule ligne uniformément reproduite, comme y résultant des coupes perpendiculaires à l'axe, quelle que puisse être la figure des méridiens.

D'après cette indispensable rectification préliminaire, les surfaces considérées ici sont donc engendrées par un cercle dont le centre parcourt une droite fixe, tandis que son plan reste constamment perpendiculaire à cette droite, son rayon

GÉOHËTRIE DANS L'BSPACE.

nt d'ftUleurs suivant une loi quelconque, quedétenninera, aqne cas, la ligne Immobile sur laquelle le cercle devra ir. La propriété générale ci-dessQsremarquëe, el d'où défi nom usité, résulte directement d'une telle génération, si, dans une surface ainsi produite, on considère une ]n plane suivant l'axe, les rayons correspondants aux ses parties de l'axe y auront toujours envers celles-ci la e relation, quelle que puisse Cire la direction de cette e; en sorte que tous ces méridiens seront nécessairement ■posables. Sous un aspect plus étendu, par quelque suiv nuxîUaire, plane ou courbe, qu'on ait d'abord coupé on ; rond, la sectionne changera jamais quand la surface elle résulte ne fera que tourner autour de l'axe proposé ; ue toutes lespai'ties du cercle générateur, outre leur idenropre, sont d'ailleurs pareillement situées envers cet axe. >oQoit que cette propriété cesserait si le plan de ce cercle, [ue conservant une direction invariable, devenait oblique Iroite Qxe quedécrit son centre. Ily a donc d'&utant moins mvénients h conserver, pour ces surfaces, les dénominausitées, après en avoir rectifié ladestination géométrique es correspondent k un attribut général où l'on peut voir ment un beureux résumé spontané de l'ensemble des ca- [■es inhérents 11 la définition rationnelle d'une telle famille. ur former ici convenablement les équations de la générail faut concevoir ce cercle comme résultant de la combin d'un plan quelconque perpendiculaire à l'axe donné, 12 + a, y= Az-|-é, avec une sphère, de rayon arbitraire, le centre soil fixement placé en un certain point de cet là, par exemple, où il perce le plan horizontal. Suivant ]de, ces équations

(i — a)» + (y — ê]» + «'=r*, z + ax + by = c,

quoique plus compliquées que celles des deux chapitres précédents, se trouveront aussi spontanément adaptées & la formation directe de Féquation collective, puisqu'elles ne contiendront encore que deux paramètres variables r et c. Ainsi, cette troisième famille géométrique aura pour type analytique

(x — a)a + (y — ê)^ + ;2* =» <p (;s + or + by).

Son application normale à la reconnaissance spéciale de chaque cas particulier serait ici plus laborieuse que dans les deux autres groupes considérés, mais d'ailleurs dirigée par les mêmes principes généraux. En concevant alors leur usage algébrique sous Taspect le plus étendu, il faudrait donc éliminer deux des coordonnées variables entre Téquation proposée f[x^ y, z)= 0 et les deux relations uniformes

(ar — a)* + (y — ê)« + z'= w, z-\-aX'\-by=t\

la troisième variable devrait ainsi disparaître du résultat final, en y disposant convenablement des constantes Uy 6, a, 6, relatives à Taxe, afin d'annuler chacun des termes distincts où elle se trouverait contenue. L'élimination préalable se fera d'ailleurs, soit par le mode ordinaire de la substitution, s'il demeure praticable, soit par tout autre procédé équivalent qui pourrait devenir indispensable.

Cette équation collective des surfaces de révolution est toujours susceptible, envers chacune d'elles, d'une importante simplification, quand on prend pour axe des z l'axe même du corps rond. En y supposant ainsi «=«0, ô=0, a=0, 6=0, elle de vient d'abord X* 4- y*+2'«=»9 (a;); mais,commeletermejz^ du premier membre peut passer dans le second, oti on doit le concevoir absorbé par la fonction arbitraire, le type analytique

ëne finalement à la forme trËE-simple, et non moins ex-

voit direclemenl que la généra tricej:=c, a* -i-y's:/-*, est ^le horizontal dont le centre décrit l'axe vertical. Au :ette dernière modification secondaire apportée à l'équas corps ronds par la transposition de J» correspond géouement à la substitution d'un cylindre àla sphère jnsqu'anployée envers le cercle générateur, 'anl un tel type, rélimination fondamentale ci-dessus ite pour vérifier si une surface parliculiërc f [x, y, s) = 0, ienlàcette famille, se réduiramainlenanl, en y supprimant lirconloculion superflue, à y faire disparaître simultanéretyen posant seulement^' -f a^^^u. Ilest d'alileursé vïleraccomplissemenldeceUeconditionaQalyliquenaulotpas suffisamment, en général, à décider la négative de ucstion, quand ou n'aurait aucun motifde présumer que e la surface dût nécessairement coïncider avecl'axe des z. caractère ne deviendrait alors pleinement certain qued'ane transposition d'axes indéterminée, et en disposant conlementdes constantes arbllrairesqn'elleintroduirait.Mais, iresque tous ces cas, heureusement peu utiles à considéjusemble de cette vérification analytique deviendrait au

aussi pénible que si Ton cûtd'abord employéle type uni-

primitiveraent établi.

. En continuant & considérer la plus simple équation col- > des corps ronds, il est facile d'y déterminer, comme es deux chapitres précédents, la forme spéciale de la on arbitraire conformément à une directrice donnée, j/,3) = 0, ^(.^,y,2) = 0.Toutse réduit, en effet, à exp la rencontre de cette ligne avec une génératrice quele z==c, j:^+ y^^r*, en éliminant x,y,z entre les deux

couples d'équations, d'où résultera la relation correspondante des deux paramètres variables ^ (c, r) =0, aussitôt convertie en équation de la surface cherchée, en y changeant ^ en x; et r en

Appliquons d'abord cette méthode au cas où la directrice serait une droite donnée,a:= ûz+a, y=^, que Ton peut supposer, en effet, parallèle au plan des xz, sans particulariser, davantage, au fond, la solution géométrique. La relation des deux paramètres c et r est ici (ârc+a)2+6^=r^, et il en résulte, pour la surface cherchée, Téquation très-simple

y2 + jc* — a»2« - 2aa2 = «« + 62.

11 est aisé d'en déduire la naturedes méridiens de ce corps rond, afin de le mieux connaître, en faisant y=0, ce qui donne x^ — a%* — 2aa» = a* + 6*. Or, cette équation annonce évidemment une hyperbole, dont Taxe des z constitue Taxe nontransverse, l'autre étant parallèle à Taxe des x, et son centre

étant situé à la hauteur verticale , qui correspond spontanément au point de la directrice le plus rapproché de Taxe de la surface; conformémentaux indications géométriques directes sur la correspondance nécessaire de la moindre section circulaire avec le sommet et le centre de Thyperbole méridienne. Ainsi, la surface produite par la révolution d'une droite quelconque autour d'un axe fixe où elle adhère invariablement, peut aussi résulter de la rotation d'une hyperbole autour de sonaxe non-transverse.Lecônecirculairedroity rentre comme modification particulière, quand la droite rencontre l'axe, ou que l'hyperbole se réduit à ses asymptotes, c'est-à-dire en annulant 6.

Examinons encore le cas où ladirectrice serait une hélice^ en établissant d'abord les équations de cette courbe remarquable.

a GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.

aaginée par Archimède, et qui conBlitue, à tous égards, la lus importante de toutes les lignes à double courbure, parmi squelles elle tient, d'après sa parfaite uniformité caractéristile.le mËme rang que le cercle entre les courbes planes. Cette >urbe cylindrique résulte du mouvement uniforme d'un point irune droite pendant quecelle-citoumeuniformément autour DU axe parallèle adhérent. Sa grandeur dépend donc de deux éments llDéaires, la distance constante de la génératrice h ize, ou le rayon du cylindre dont elle fait partie, et le chemin lécial parcouru parallèlement à l'axe à l'issue de chaque révotion entière.'ou l'intervalle fixe, ordinairement nommé pas, li existe entre deux spires consécutives le long des arêtes. La éorie générale de la similitude des courbes indique aisément, Lrtoutencecas,quedeux hélices ne sont semblables qu'autant le leurs rayons sont entre eux comme leurs pas. D'après sa ifinition, les plus simples équations de cette courbe contienont ces deux constantes arbitraires : ainsi, l'hélice exige latre points pour sa détermination; puisque la transposition ixesindispensableàlagénéralisalion de ce premier type anatique y introduira naturellement six nouveaux paramètres, léaires ou angulaires. Une appréciation géométrique directe nflrm6,en effet, que les équations les plus générales de l'béedoivent contenir huit constantes,8avoir :les quatre relatives .'axe, les deux dimensions de la courbe, et enfin deux coor- Dnéesdelapositioninitiale,déjJiplacée sur un cylindre connu. Il est aisé de former les équations de cette courbe, puisque, iprès sa définition, elle se distingue de toutes celles qui aprtiennent an même cylindre, en ce que la différence des disices de deux quelconques de ses points au plan de la base est ijours proportionnelle i. la partie de ce cercle comprise entre irs projections. Hais, avant de déduire d'un tel caractère le jple analytique accoutumé, il faut d'abord noter deux pro-

priélés importantes qui en dérivent, Tune pour la tangente à

l'hélice, l'antre quant à sa rectification. Quoique cette courbe

soit transcendante, et, à ce titre, directement inaccessible aux

règles élémentaires dece traité à l'égard des tangentes, nous

pouvons cependant y traiter spécialement cette recherche; car,

d'après cette constante proportionnalité, la tangente à Thélice

doit faire avec Taxe du cylindre un angle invariable, dont la

27cr tangente trigonométrique équivaut à -r-, sir et A désignent le

rayon et le pas ; ce qui suffit pour déterminer cette droite, déjà nécessairement contenue dans le plan tangent au cylindre. En second lieu, une telle proportionnalité indique clairementque, quand le cylindre se déroulera sur un plan, chaque spire de l'hélice se développera suivant une ligne droite, dont l'angle précédent déterminera l'obliquité envers les génératrices du cylindre ; en effet, leslongueurs variablesainsi comparées conservant toujours leur grandeur après cette transformation, cette proportion reproduit spontanément le caractère fondamental de la ligne droite, lorsque les arcs de la base sont devenus rectilignes. L'hélice pourrait donc, en sens inverse, résulter de la flexion d'une droite sur la surface d'un cylindre dans une direction plus ou moins oblique. A ce titre, elle y indique nécessairement le plus court chemin entre deux points quelconques : ce chemin minimum équivaut ainsi à l'hypoténuse du triangle rectangle formé par les deux longueurs cidessus comparées ; en sorte que la rectification de l'hélice se ramène aussitôt à celle du cercle. Cette sommaire appréciation des principales propriétés de cette courbe ne laisse réellement à l'analyse transcendante aucune autre détermination essentielle que celle de la loi précise suivant laquelle chacune des deux courbures, évidemment constantes, d'une telle ligne dépend de son rayon et de son pas ; nos ressources actuelles ne

-.; ■> -i-.-.r ■,-i-r.*ci->- ; s^î«îéiL^ l* Tin* oa TaBbc t i m*^:;rt •^:;'* ;'g&£ ca Tui» it as <iJDaâi»s

.::i 2rt.in:'>m-^i.'./^f,'.^s ^in;f;»sA7iiL-:asdeni^iiee, i.'.t *-in awr p-.ir (rloi .iesr «■iin.r'^aiil t«ïi*!Î* l'axe *I 1^ K. L'une >I""pAtiijn5 §<ra d »b»r>i j'—tf^^r'.

iAi:f% »aî^'iX.'A du caractère pr<^r^d«iiniMfit établi, X s^nit éTid^mmeot le co-

l'arc r''>rr^(>'>riilaat d«!ib«5e. $i r était le rayon tririijrie. JfaU. aa lieu de ce coaple primordial, il fnA •rrneQt pr^T^rer, saivaiit le mode ordinaire, b c

liissimplfts:^,

<n* Teriicale».

s c«rB derniJrre» éqnaiions, il devient aisé de Tonner n rif! k snrfai^e pr^jdulLe parla révoluLion d'une hélice 'ann parallèle à son ase. Alln de ne pas Ironbler jnalen lialiitad'rH aDalytiqnes propres k ce cbapilre, oA posions l'axe du corps rond confonds avec l'axe desz,

mndider un peu les équations précédentes, en y dé- 'origine, mais seulement surl'axe desz, d'unedislance intervalle donné a eutre l'axe du cylindre et l'axe de

En parlant ainsi des équations

. 2it Sir

y ^ r sin -7- 2, a: ^ r cos -r z + a, h n

era aisément la condition de rencontre perpétuelle

crcle s = (;, ar'-i-,V' = R'. qui engendre rbéliçoïde dont Téqualion sera linalemenl

yi H- x' =: 2ar cos -T- ^ + [r' + a') ;

il sera facile d'en déduire la nature des méridiens, en y faisant

Le mode général pour le passage analytique de chaque directrice donnée au corps rond correspondant, se simplifie beaucoup quand cette directrice est le méridien de la surface, dont nous supposons toujours Taxe confondu avec celui des z; alors, les équations de la courbe étant / (ar, z) ==■ 0, y=0, la relation des deux paramètres variables c et r propres à la génératrice devient aussitôt /* (r, c) = 0, d'où résulte Téquation de la surface cherchée / {\/x^ + y', 2) = 0 ainsi obtenue en changeant

seulement a? en \/x^ +y^ dans l'équation plane du méridienproposé. Suivant cette règle fortsimple,réquationa^s*-fô*ar2=a^ô*

donnerait a'^z^-{-b^x^+b*y^=a^b^ pour l'ellipsoïde de révolution ; de même, en partant de a*z^ — b^x'^ = rfc a^fia, on aurait a^z* — b^x^ — b^l/^= ±. a^b^ envers Thyperboloïde, en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur, suivant que la révolution se ferait autour de Taxe transverse ou de l'axe non transverse ; pareillement, les surfaces engendrées parla rotation de la parabole autour de son axe ou de la tangente au sommet seraient y' +a:*=mz ou z*=m^(a:^-f y*), en considérant successivement les équations méridiennes x^=>mz ou 3*= mx.

Il convient, à ce sujet, de signaler spécialement les cas du tore, dont l'équation se formera d'après celle du cercle méridien z* + {x — a)2=3 r^, où nous supposons l'axe des x dirigé vers son centre. On trouve ainsi, pour le tore, l'équation du quatrième degré

z^+ (v/^Ty"^ — «V = r^

il est aisé d'y constater, en rendant y constant, que les coupes parallèles à l'axe coïncident exactement avec les courbes considérées au n* 22, puisque leur équation

z=±: \/— {c^ + a^' — r^ + x-) + 2« /c^ -f ar*

GéOMÉTBIE DA5S L'ESPAŒ.

ttonjooras'ideDlifieraTcccelleqneDOasaToasdorsrormée, DDonçaot d'aTaDcel'ipprédation géoméuiqaede cesUgoes ime seclîoiu longes.