CHAPITRE V

Tbéorte des surfaces coooKIcs.

S9. Cette déDominatioQ, dont le sens a beaaconp varié de- I ArchimÈde, eemble miûntenaiit consacrée à désigner une relie famille géométrique, Tort Datée dans les arts, et comlant tontes les surfaces engendrées par une droite glissant un axe fixe, parallèlement àun même plan, quellequesoit Uenrsla seconde directrice qui doit, en chaque cas, compléla détermination de son mouvement. Quelques auteurs liflent aussi de gauches les surfocesùnsi produites, d'après ' contraste naturel envers le plan : mais ce tenue paraît imnnémentaffecté au seul conoide du second degré. Le nom a prévalu rappelle assez heureusement une comparaison métrique avec les surfaces coniques, que confirment ci-des- B l'appréciation analytique.

os principes généraux conduiraient aisément h former l'étion collective qui doit caractériser cette quatrième famille elle, d'après l'axe donné, x •= az + <t, y ^^ bz + S, elle plan ?cleur, z =px + qy. Car, la rencontre perpétuelle de la géitrice x=^a'z + a', y = ô's -î- 6', avec cet axe, assujettirait )ord ses quatre paramètres, ici simultanément variables, à

r: — î ; ensuite son parallflismo

constant envers le plan leur imposerait encore la condition pa'+qb*=i , dont la combinaison avec la précédente permettrait de réduire ces coefficients à deux seulement, selon notre règle fondamentale. D'après un tel préambule, il sufBrait de rappor* ter ces deux derniers paramètres aux coordonnées x^ y^Zy dans les équations de la génératrice, pour en déduire aussitôt le type analytique cherché, en indiquant, comme de coutume, une liaison arbitraire entre ces deux fonctions. Mais je crois devoir laisser au lecteur Texécution de cette opération, dont je ne rapporterai pas même le résultat, que sa trop grande complication nous rendrait presque inutile. Je vais seulement former cette équation collective dans Thypothèse la plus favorable à sa simplification, c'est-à-dire, en supposant que Taxe du conoide soit pris pour axe des 2, et le plan directeur pour plan àesocy ; saufàn'appliquerensuite cette équationcollectiveàrentière appréciation d*un cas quelconque qu'après une convenable transposition d'axes coordonnés, qui offrirait, sous une autre forme, des embarras algébriques à peu près équivalents à ceux qu'occasionne l'usage direct du type le plus général.

Suivant cette supposition habituelle, les équations zssac ei t/s=iax exprimeront aussitôt l'ensemble des conditions relatives à la génératrice, ainsi assujettie, en effet, & rester horizontale en glissant sur l'axe vertical : aussi ce couple ne contient-il spontanément que deux paramètres variables, dont l'élimination conduira facilement, d'après nos règles, au type très-simple

On peut simplifier beaucoup son application à la vérification spéciale de chaque cas, en y voyant l'expression naturelle d'un théorème général de géométrie comparée analogue à celui de Mongc sur les surfaces coniques. Car, un tel caractère indique

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE. '

évidemment, comme au n® 155, que Téquation du conoïde est toujours homogène relativement aux seules variables x et y, en ne faisant point participer la troisième coordonnée z k l'estimation du degré algébrique. Ainsi, l'idée analytique d'homogénéité qui, complètement envisagée, correspond à la notion géométrique d'un cône, se lie, au contraire, à celle d'un conoïde, quand on loi fait subir cette modification élémentaire. Cette remarque générale caractérise analytiquement l'analogie spontanée de ces deux familles, et tend à mieux motiver la dénomination qui rappelle un tel rapprochement. Quoi qu'il en soit, ce caractère comporte évidemment une application fort commode à l'appréciation géométrique de chaque équation particulière; car, toute équation, comme, par exemple, z=xi/^ considérée au n* 131, qui se trouvera homogène envers deux des variables, représentera nécessairement un conoïde dont le plan directeurseraitparallèle à ce§ coordonnées, et dont l'axe correspondrait à celle qui n'aurait point participé au degré. Un usage convenable des formules de transposition d'axes dans l'espace permettrait d'ailleurs de généraliser, mais très-péniblement, l'interprétationnégatived'untelsymptôme analytique; puisqu'il n'y a pas de conoïde qui, réciproquement, ne soit susceptible d'une pareille homogénéité partielle envers certains axes coordonnés.

160. Considérons, maintenant, pour une semblable équation collective, ladétermination accoutumée delà fonction arbitraire conformément à une directrice donnée

fi (x, y, z) = 0, fi [x, y, z) = 0.

L'élimination de a:, y, z, entre ce couple spécial et le couple général j5«=c, y =âfa: relatif à la génératrice fournira aisément la liaison correspondante | (c,a) =0 des deux paramètres variables, d'où Ton déduira aussitôt l'équation du conoïde proposé,

en y changeant c en jg et a en -.

Appliquons cette méthode au cas où la directrice serait une

hélice, x==^r cos -r 2» V = ^* siii t- ^- Où trouve alors, entre les

deux paramètres, la relation a = tang -r- c, et, par suite,

y = a: tang -r- z pour Téquation, très-simple, quoique transcendante, du conoïde cherché. Cette suriace, fort usuelle dans les arts géométriques, est évidemment celle de la vis à filets rectangulaires ou de Tescalier à vis sans jour, engendrée par une droite horizontale glissant à la fois sur une hélice et sur Taxe du cylindre vertical correspondant. Quant à la vis à filets triangulaires, malgré sa grande analogie avec la précédente, elle ne constitue point exactement un vrai conoïde ; car, le parallélisme continuel de la génératrice au plan de la base du cylindre, s'y trouve remplacé par son inclinaison constante sur Taxe ; ce qui reproduira d'ailleurs Tautre cas, quand cet angle deviendra droit. Pour trouver cette nouvelle équation, on pourra conserver la seconde équation de la génératrice précédente 7/=ax\

mais il faudra remplacer l'autre, z=c, par x= — ■ 2; + a,

qu'il est aisé de former d'après la condition que cette droite fasse maintenant un angle donné y avec l'axe vertical. Relativement à l'hélice directrice, il conviendra de préférer les équa-

tions y^-{-x^=z 7'*et - = tang -^z, quirésultent aussitôt des deux

anciennes. Cela posé, on trouvera sans difficulté la relation de

rencontre a -= tang — I r^ /• en y remplaçant les paramètres « et a par leurs expressions déduites des équations de la génératrice, l'équation de la surface de la vis triangulaire sera finalement

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

le beaucoup plus compliquée, en général, que celle de 'eclangulaire, elle y rentre spontanément quand l'angle lUt droit.

QvieDt maintenant d'apprécier la BlmpHGcation générale ïuve la formation de l'équation propre à chaque conoîde, on y prend spécialement pour directrice la trace de la ! Bur un plan parallèle à l'un des deax plans verticaux. lationsde cettenouvellebaseétant alors /■(a7,2)=0,y^:rf,

ion des paramètres variablesdevient toujours /f-,c]^),

luit, pour le conoîde correspondant, à l'équation

diffère de celle de la courbe donnée que par le simple ment de :c en — . C'est ainsi, entre autres, qiie, d'après itions x^=mz ou z^=^mx, le conoîde parabolique serait

e de sa base serait parallèle ou perpendiculaire au sien. le plus remarquable est, en ce genre, celui du conoîde ne, correspondant à la directrice y=rf, j=ai+a; on a aussitôt, pour cette surrace, l'équation fort simple y=dx, dont le degré annonce que toutes les sections correspondantes sont des coniques. Si on y applique lélhode générale pour l'étude de telles coupes, on reconfacilement qu'elles ne sauraient jamais Être elliptiques, les sont habituellement hyperboliques, sauf certaines ms déterminées où le plan sécant donne des paraboles.

Ce conoïde sera plus spécialement examiné, aucbapitre suivant, sous le nom consacré de paraboloïde hyperbolique.

Considérons enfin, comme envers les cylindres et les cônes, la formation de Téquation propre à chaque conoïde, quand il doit être circonscrit à une surface quelconque iorïnéef{x, y,z)=0. Le mode fondamental employé dans les deux autres cas est également applicable à celui-ci pour formuler le contact perpétuel de la génératrice, ^ = c, y = ax^ avec cette surface ; ce qui se réduira maintenant à exprimer, d'après les règles de la géométrie plane, que la droite y = ax touche la courbe / (Xj y, c) =0, en y employant, si on le juge convenable, le principe des racines égales. De la relation ainsi établie entre les paramètres variables a et ^, on passera d'ailleurs à Téquation du conoïde, comme quand la directrice était donnée. Au reste, on pourrait aussi, dans ce nouveau cas, étendre la méthode, déjà indiquée à Tégard du cylindre et du cône, afin de caractériser directement la courbe de contact du conoïde avec la surface donnée, en assujettissant le plan tangent de celle-ci^ {x^Xi) Ai-+- (y— yi) Al + (2— ^^i) a* — 0, à contenir toujours une horizontale rencontrant Taxe vertical, c'est-à-dire, à 'donner, en y supposant 2 = Zi , une droite dont la projection horizontale, {x — Xi) fx\ + [y — y\) Ai = ^» passe constamment à l'origine. On trouve ainsi

a:A+.yA=o

pour la seconde équation de cette courbe, qui dès lors pourrait devenir la directrice du conoïde circonscrit, de manière à faire rentrer cette question dans la précédente, si on le jugeait utile, comme envers les deux familles antérieures.

Appliquons, par exemple, cette méthode au cas où la surface donnée serait le cylindre vertical a:*-|- y'=»r*, en supposant toujours que le plan directeur soit horizontal, mais en donnant

GËONÊTRie DANS L'ëSPACK.

à l'axe du conolde noe situation oblique, qu'on peut !ur5 concevoir parallèle àl'ua desdeux autres plans coorïs. Si les équaUons de cet aie soDt x = az-\-'x,i/=:d,5à Dire avec une génératrice quelconque, z=c, y=px-^g, ira d'abord la condition rf=pac-!-p«+ 9- La relation de et sera ensuite q^ =1^ (p'+ !)■ En élimlnaiit les para- (3 variables p, q, et c, entre ces deux équations de con- . et celles de la génératrice, on trouvera, pour la surface hée, l'équation du qualriëme degré

[ays + a.y- dxf = f^ ([d — yf + (az + <*—x]*).

surface est ordinairement celle de l'escalier à jour, quand ipe est recliligne. Hais, si l'arête borizoolale des maren toucbanl toujours le cylindre vertical y*-(-j:' =n r", '. d'ailleurs glisser sur une hélice, appartenant à un plus cylindre autour du même axe, îe lieu ne serait plus un le. Toutefois, son équation spéciale ne serait pas plus eàformer, d'après les m Ames équations z=c6\.y=px-\-q & génératrice, en substituant à l'axe du conolde l'hélice

nce x = n. cos -j- 2, w = h ^

itact ç*^ r*(p*+ 1), il faudratl Ici joindre la nouvelle

ion de rencontre R sin , c ^p R cos -rC-^q. L'élimi-

1 des trois paramètres variablesp, q, c, entre ceséquait celles de ta génératrice, fournirait, pour la surface lée, l'équation transcendante

n-2~ycos-^ 7 ^ n (y— Ilsm-^

lésigne le rayon de la cage cylindrique de l'escalier et r le la colonne vide.

zY+l^-Rco.!-»)!,