CHAPITRE VI
Théorie générale complémentaire, relative à tous les groupes géométriques dont réquatlon collective n*est pas connue, et surtout aux surfaces recUlignes ou circulaires.
1 61 . L'étude successive des familles les plus usuelles a tellement caractérisé, dans les quatre chapitres précédents^ Tapplication normale des principes fondamentaux établis d*abord sur la classification rationnelle des surfaces, que le lecteur attentif ne saurait éprouver aucune grave difficulté à étendre spontanément le même esprit à de nouvelles familles quelconques dont la considération pourrait devenir convenable, pourvu que leurs définitions restassent conformes à la condition universelle que nous avons préalablement posée. Mais, afin de procurer à ces notions générales toute TefRcacité possible, il faut maintenant compléter leur appréciation essentielle, en la dégageant des équations collectives quine doivent servir qu'à en perfectionner Tusage régulier, de manière à pouvoir résoudre, en chaque cas particulier, les deux questions principales relatives à la formation et à la discussion des équations d'après le mode de génération des surfaces correspondantes, môme envers les groupes géométriques qui n'ont pu encore être convenablementramenés à de tels types analytiques. Pour bien sentir l'importance de cette théorie complémentaire, nous devons préalablement caractériser les difficultés fondamentales qui empêchent jusqu'ici, et qui peut-être interdiront toujours, à beaucoup d'égards, l'établissèment de ces précieuses formules communes. Ces difficultés sont de deux sortes très-distinctes, les unes
relatives à la nature des familles de surfaces Oonsidérées, tes autres àla trop grande extension des groupes naturels. Sous le premier aspect, il faut reconnaître que, sans excéder lesUmites normales de la famille proprement dite, noire appréciation analytique ne se trouve pas toujours en suffisante harmonie jusqu'àprésentavecnotre conception géométrique. Persistons, en effet, suivant les explications initiales, à ne composer chaque famille que des surfaces dont toute la différence réside en ane seule ligne fixe, et dont, par suite, l'équationcollectiTene doit contenir qu'une seule fonction arbitraire. Or, ainsi conçue, la définition géométrique de chaque famille échappera encore trop souventànostypesanalytiques. Car,les moyens actuellement connus ne permettentde former ces équations communes qu'autant que le mode de génération considéré peut ètredéfini et formulé indépendamment de celte courbe spécifique par laquelle diffèrent les divers genres d'une même famille. Quand cette ligne sera une directrice proprement dite, sur laquelle la génératrice devra simplement glisser, cette condition préalable se trouvera toujours remplie, et l'on pourra constamment réduire les équations de la génératrice k ne contenirque deux paramètres variables, de manière & composer finalement l'équation collective, comme nous l'avons éprouvé dansles cas principaux. Mais il n'en sera plus ainsi lorsque la courbe spécifique, que l'on peut continuer, par extension, li qualifier encore de directrice, sera plus profondément liée il la définition de chaque surface, de façon k constituerun élément indispensable du mode même de génération : on ne pourra plus alors former les équations générales de la génératrice indépendamment d'une telle directrice, et en n'y laissant que deux constantes arbitraires. Dans tousles cas semblables, ondgnore jusqu'ici quelle serait l'équation collective, quoique le groupe géométrique ne soilpas réellement plus étendu qu'auparavant ;
seulement Tanalyse transcendante y permet encore la formation des caractères indirects relatifs à la liaison des deux dérivées partielles de la variable dépendante, et qui correspondent géométriquement à une propriété générale du plan tangent. Telles seraient, par exemple, les surfaces, spécialement considérées ci-dessous, qu'engendrerait un cercle invariable dont le centre décrit une ligne fixe à laquelle son plan reste toujours normal : en changeant arbitrairement cette directrice du centre, cette déflnition constitue certainement une véritable famille, plus embarrassante mais aussi circonscrite que celles des cônes^ des corps ronds, etc.; or, son équation collective n'est pas connue jusqu'ici sous forme finie.
Quelle que soit l'importance réelle de ce premier ordre de difficultés analytiques, il est aisé de concevoir que l'extension supérieuredes groupes géométriques doitconstituerleprincipal obstacle à la commune appréciation abstraite de chacun d'eux, quoique la nature identique de la génératrice continue encore à établir, entre ces cas plus variés, une véritable affinité fondamentale. En partant de la simple famille, dont llndétermination consiste analytiquement en ce que les équations de la génératrice y peuvent être supposées réduites à ne contenir que deux constantes arbitraires, on peut facilement imaginer des groupes de plus en plus indéterminés, et néanmoins toujours naturels; leur extension se mesurera spontanément par le nombre des paramètres variables propres au couple analytique de la génératrice, quand toutes les conditions de chaque définition collective y auront été suffisamment formulées. Or, aucun de ces assemblages plus étendus ne comporte jusqu'à présent de véritable type analytique, sauf les caractères indirects que l'analyse transcendante y a pu manifester, et seulement même envers très-peu de cas.
