Pour mieux apprécier cette difBculté fondamentale, il

538 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

suffit de Tenvisager spécialement dans son moindre degré, relativement à la pins simple de ces catégories naturelles, c'est-àdire h regard des surfaces engendrées par la ligne droite, et ordinairement qualifiées, à ce titre, de réglées ou plutôt rectilignes. D'après le nombre des paramètres variables propres à une telle génératrice, nous avons déjà remarqué que trois directrices devenaient, en général, indispensables à Tentière détermination de son mouvement. Gomme une seule directrice laissée arbitraire dans un mode quelconque de génération constitue, en géométrie comparée, une famille proprement dite, il est évident que le groupe géométrique des surfaces rectilignes comprend nécessairement une double infinité de familles distinctes, dont les cylindres, les cônes, et les conoïdes ne nous ont offert que les plus simples et les plus usuelles. Il n'existe pas jusqu'ici de type analytique assez général pour leur convenir simultanément, et néanmoins assez circonscrit pour les caractériser exclusivement. Si jamais on parvient à Tinstituer, on peut assurer d'avance qu'il devra contenir distinctement trois fonctions arbitraires indépendantes entre elles, afin de correspondre au nombre naturel des directrices qu'exige alors l'entière détermination de chaque espèce, et de pouvoir se modifier convenablement, d'abord envers les classes, ensuite à l'égard des familles.

On rendra plus sensible encore une telle nécessité en considérant la principale division géométrique des surfaces réglées, selon qu'elles sont développables ou non développables, c'està-dire suivant qu'elles peuvent ou non être envisagées comme formées d'élémentsplans juxtaposés, ayant toute la longueur de la surface dans le sens de chaque génératrice, et infiniment petits seulement dans le sens perpendiculaire ; condition évidemment indispensable et suffisante pour permettre, en effet, de déployer toutes les parties de la surface sur un môme plan à

la suite les unes des autres, sans lacune ni confusion. Parmi les trois familles de surfaces rectilignes que nous avons étudiées, les deux premières sont développables, parce que deux positions consécutives de la génératrice y appartiennent toujours à un même plan; la troisième ne Test pas, faute d'un tel caractère fondamental. En ayant égard à cette distinction générale, il faut reconnaître que la classe des surfaces développables, quoique ne constituant déjà qu'un cas particulier de ce vaste groupe géométrique, est elle-même trop étendue pour comporter, au moins sous forme finie, une véritable équation collective, dans Tétat naissant où se trouve encore la géométrie comparée, qui n'a pu jusqu'ici fournir, à cet égard, que le caractère analytique indirect trouvé par Euler d'après la théorie générale de la courbure des surfaces, évidemment réservée à l'analyse transcendante. Cette commune équation des surfaces développables, devant être moins étendue que celle du groupe total des surfaces rectilignes, et devant pourtant conveniràune infinité de familles proprement dites, contiendrait nécessairement deux fonctions arbitraires. Il est aisé de le confirmer directement, d'apr.ès chacune des deux origines géométriques que l'on peut assigner, en général, à de telles surfaces. Toute surface développable peut d'abord résulter du mouvement d'un plan assujetti à toucher à la fois deux surfaces fixes quelconques, en considérant le lieu des droites qui joignent ses deux points de contact, et dont l'ensemble remplit naturellement la condition fondamentale imposée ci-dessus au développement d'une surface rectiligne. Sous ce premier aspect, il n'est pas douteux' que le type analytique de cette classe géométrique devrait nécessairement contenir deux fonctions arbitraires, afin de correspondre à la double source de variation inhérente à une telle définition: si les deux surfaces directrices étaient égales et parallèles, il en résulterait la famille des cylindres ; celle des

iO CÉOMÉTBIE OANS l"eSPACE.

loes correspondrail à leur simple siraililude, joiiile au mCme irallélisme ; une infinilé d'autres familles iaconnues dérivelent de nouvelles dispositions mutuelles. En second lieu, on :ut aussi concevoir une surface développable comme l'enmble des tangentes à une même courbe à double courbure, ailleurs quelconque. Celte seconde définition n'est pas, au nd, moins générale que la précédente, puisque, les généraices consécutives de chaque surface développable devant néssairemenl se renconlrer,lasuitedeleursîntersecUons forme aduellemenl une certaine courbe qu'elles touchent toutes, et li est évidemment propre à caractériser la surface corresponm te, où onlaqualirieopdinairementd'ar^terfe rtf6roussemp«/, r, sous ce nouveau poinl de vue, il est pareillement évident le l'équation collective de celle classe de surfaces devrait narellement contenir deux fonctions arbitraires distinctes, en Tludu dualisme analytique de celle courbe caractéristique, li, successivement supposée cylindrique, ou conique, ou sphé- ]ue, elc, produirait une infinité de groupes secondaires, au oins aussi étendus que nos familles proprement dites. L'ensembledes réflexions précédentes est tPËs-propreàcaracriser nettement la difficulté fondamentale qui empêche auurd'hui, et qui peut-être inlerdira toujours dans la plupart is cas, la pleine formation des types analytiques destinés & présenter les groupes géométriques plus indéterminés que ux dont nous avons considéré l'appréciation spéciale. Si, en 'et, de tels obstacles essentiels existent déjà envers la plus mple catégorie, où la génératrice ne comporte que quatre pamËtres variables, ils doivent naturellement acquérir beauup plusd'iutensilé à l'égard d'assemblages encore plus vastes, latifsàdes génératrices plus compliquées, dontla conception alytiqne exigerait trois couples de constantes arbitraires, mme pour les surfaces circulaires, ou, h plus forte raison.

quatre couples, quant aux surfaces paraboliques, et ainsi successivement, suivant le nombre de points déterminant propre à chaque génératrice.

163. Tous les systèmes de génération envers lesquels les divers motifs précédents doivent nous faire renoncer, soitmaintenant, soit même à jamais, à la formation des équations collectives introduites par Monge, ne sauraient dès lors permettre une étude générale aussi satisfaisante, à beaucoup près, que celle des groupes géométriques dont les types analytiques sont convenablement établis. Néanmoins, on peut encore résoudre, envers chaque surface particulière d'une telle nature, les deux questions fondamentales qui consistent, soit à former son équation quand sa génération est complètement déterminée, soit, réciproquement, à reconnaître le mode de génération d'après Téquation donnée.

Pour le premier problème, il faudra toujours partir du couple analytique le plus général, et pourtant le plus simple, relatif à la génératrice proposée, /i (a:, y, z, a^ 6, c, rf...) = 0 6*- A (^î y> ^y ^} *î ^y rf....)= 0. Cela posé, on y réduira les paramètres indéterminés a^ 6, c, rf... à un seul, en ayant égard à l'ensemble des conditions qui défmissentle mouvement de la génératrice, soit que cette ligne doive glisser sur des courbes données, comme dans le cas le plus ordinaire, soit qu'elle doive toucher constamment des surfaces données, ou suivant toute autre prescription géométrique. Si cette réduction nécessaire restait impossible après avoir tout pris en considération, la définition serait, par cela seul, reconnue insufQsante, et propre uniquement à constituer une famille, ou une classe, ou quelque groupe géométrique encore plus étendu, au lieu d'une espèce déterminée. Après une telle préparation, l'équation de la surface cherchée résultera toujours de l'élimination de l'unique paramètre ainsi conservé entre les équations de la

GÉOMÉTRIE DANS l'ESFACB.

ratrice. Vu qu'il importe peu d'ailleurs que cette préalable rdinatioD des conslanlesarbitrairessoitexpliciteou senle- , implicite, on évitera souvent de s'imposer d'inutiles ens algébriques en concevant plus largement l'ensemble de Icul, consistant & éliminer tous les n paramètres primitîrs génératrice entre ses deux équations et les n — 1 relaqui doivent spécifier son mouvement, sauf à choisir ieusement, en chaque cas, le meilleur mode d'élimi-

nsidérons maintenant le problème inverse, où il s'agit de maître si une surface donnée f (a, y, a) =» 0 peut être enrée par une certaine ligne, et de découvrir le mode de gélion. En procédant également d'après le couple analytique us général elle plus simple qui convienne à cette généra- , f{x,y, z,a, 6, c, rf...) = 0,if [x,y,z,a,b, c, rf...) — 0. idra que la ligne puisée Gtre contenue sur la surface, sans x)us ses paramètres a,b, c, d... soient entièrementdéters, et en laissant l'un d'eus totalement arbitraire, tous les islui devenant subordonnés selon des formules géométrilent admissibles. Si, en effet, cette condition est remplie, garantira nécessairement que l'équation de la surface ée pourrait dériver de celles de la courbe proposée, en nant entre elles cet unique coefficient variable. Toute ration analytique consistera donc, sous l'aspect le plus lu, à éliminer deux des coordonnées x, y, 2, entre les Lions dç la ligne et celle de la surface, aOn que l'équation : relative à la troisième coordonnée puisse devenir iden-

d'aprèsdes valeurs réelles desdivers paramètres de lagérice en fonction de l'un d'eux, pour exprimer que cette

s'applique totalement sur la surface dons chacune de ses ions. Quand la surface proposée sera wnsi reconnuesus- )le d'être engendrée par la ligne considérée, l'ensemble

de ces conditions détenninera en même temps le mode de génération.

164. Appliquons d'abord cette double méthode universelle à la théorie générale des surfaces réglées ou rectilignes. Gonsidérons-y, en premier lieu, la formation de Téquation d'après les trois directrices qu'exige alors l'entière détermination du mouvement de la génératrice, rc = ai? + a, y = 6z + 6. Dans le cas le plus simple, ces directrices seraient trois droites, sans intersection mutuelle, et dont l'une^ si les axes sont totalement disponibles, pourrait être prise pour axe des 2, en dirigeant les axes horizontaux parallèlement aux deux autres, l'une de celles-ci pouvant même être supposéedans le plan des xy. Les équations de ces trois directrices seraient donc a:=—0, y«=»0, puiszB-sO, y = c, et enfin a; = p, z™^^. En vertu de sa rencontre perpétuelle avec les deux premières, la génératrice aurait pour équations y = ax^ y = bz+ c^ où la troisième intersection exigerait la relation ap=bq +c. Si l'on y élimine les paramètres variables a et b, on obtient aussitôt l'équation de la surface du second degré cherchée,

qxy + exz — pyz = qcx.

Malgré sa grande simplicité, cet exemple intéressant sufiitici à manifester la marche générale d'une opération déjà convenablement expliquée en principe.

Pour caractériser nettement les cas où le mouvement de la génératrice est défini autrement que par des directrices, il convient d'apprécier ici le mode de formation de l'équation de chaque surface développable, que l'on croit mal à propos essentiellement inaccessible à l'analyse ordinaire, et qui pourtant n'exige, au fond, que la simple théorie du plan tangent, déjà complètement applicable, dans ce traité élémentaire, à toutes les équations algébriques proprementdites. Cette ques-

GtOVÉnOE DA5S l'espace.

érale serait d'abord facile à traiter, si la surface déve- '■ qat Ton considère était définie par soa artte de reiient,doiilleséqaation5.f (j:,y, :]-=0,^{x,y,z)=Ot ient aussitôt celle d'une tantale quelconque, d'après lie des denx plans tangents,

■r — J:i,?'fl + (y — y.l?'^+ (= — s,)7:,= 0, ■z— a:,; ■fn+ y — yi)f,i+ (s — i,)f.i=0:

m cherchée résulterait alors de l'élimination des eâor- : auxiliaires Xi, t/i, Zt, entre ces denx équations et les [ations, f [xt, tft, îi) = 0, i]- {xi, y,, Zi) = 0, qui ca- ;nt ce point de contact. Quoique le calent soit plus péns l'autre système géométrique propre à la définition aces développables, l'analyse transcendante n'y est pas tnt plus indispensable. Supposons, en effet, un plan issnjetli À toucher constamment deux surfaces don- ^t y> 3)=0 et i((x, y, s) = 0. Il suffira, pour instiivenablementla solution, d'y introduire, & litre de vaauxiliaires, les coordonnées respectives x\, y\, ::i. :, Z), des deux points de contact, dont la droite de constitue ici la génératrice de notre surface développes deux plans tangents correspondants auraient pour is

:.r — 3:0?it+(y— yi)?'ri+(2— sOfii — O

X ~- a:,) ■i/'ji + (y — y») Yti + (= — r,} it\i = 0.

ntification continue de ces deux équations, afin d'exjue le plan mobile touche k la fois les deux surfaces nrtiira d'abord les trois relations

* 'iii^'n gt?'j| + yi?'ti + ^iy'n J^^''J*+ff^^''»^-^^g^''st i't'« '(''a' f" 't''»

entre les six variables auxiliaires, d'ailleurs assujetties déjà par leur nature aux deux conditions (p(a;i, 2/1, î5i)=0et<J;(a^,y2,2j2)=0. Si, à ces cinq relations nécessaires, on joint les deux équations de la génératrice

x—x^ = - ^(2-.zi), y — y^^^- ^(2-2i),

Z% — Zi -Za — Zi

on pourra totalement éliminer les six coordonnées introduites, de manière à obtenir, entre les vaiûables naturelles x, y, z^ Téquation de la surface demandée, quoiqu'une telle opération analytique dûtle plus souvent devenird*ailleurspresqueimpraticable,même envers des données fort simples. Pour en mieux saisir l'esprit, le lecteur devra pourtant s'exercer à l'accomplir dans quelques cas faciles, et au moins à l'égard de deux sphères, où les indications géométriques fourniraient directement une complète vérification spéciale.

Ainsi envisagée, la théorie analytique des surfaces développables trouverait naturellement une large application dans le problème général des ombres, maintenant conçu de la manière la plus étendue, c'est-à-dire en supposant, au corps éclairant aussi bien qu'au corps éclairé, une figure et une grandeur quelconques. Car, en déterminant la surface diveloppable circonscrite à ces deux surfaces, sa combinaison avec chacune d'elles y caractériserait la ligne de démarcation, soit entre la partie efficace et la partie superflue de la première, soit entrela partie éclairée et la partie obscure de la seconde ; ensuite, sa trace sur toute autre surface opaque donnée y marquerait le contour naturel de l'ombre portée. Il importe de noter, au sujet d'une telle application, qui indique spontanément la distinction nécessaire de l'ombre à la pénombre^ que le lieu développable ainsi obtenu se trouvera toujours composé de deux surfaces différentes, puisque le plan tangent peut être considéré dans deux sortes de situations très-distinctes, selon qu'il laisse les

GÉOKÉTRtE DANS l'eSPACE.

X surfaces fixes d'on mfiine cdté ou qu'il passe entre elles. ir deux sphères, ces deux élémenls du lieu cherché seraient \ c&nes circulaires droits, engendrés autour de la ligne des Lres par les deux couples de tangentes communes aux deax ids cercles correspondants. Ea un cas quelconque, on doit c trouver finalement une équation exceptionnellemeot déiposable en deux facteurs, dont l'un servirait ici A déterminer ibre proprement dite, et l'antre la simple pénombre, connément aux exigences spéciales de cette application. 65. Quanta reconnaître, en second lieu, d'après l'équation le surface donnée, si elle appartient à tel système désigné génération, la marche générale expliquée au n° i63 pour e recherche inverse se simplifie beaucoup à l'égard des sor- 8 réglées, vu l'extrême simplicité de leur génératrice, t se réduit ainsi, en effet, à substituer dans l'équation losée, /■ [x, y, 3)=0, az + a et bs-^€ au lieu de x ely, d'assujettirl'équatioD finale en z,f(az+t^l>z + S, a) = 0, ivenir complètement identique, en disposant convenablett de trois des paramètres a, b, «, 6 par rapport au quane, qui doit rester arbitraire. Cette méthode n'étant, en •e, nullement entravée par l'indétermination des coeffits de la surface, on pourra l'appliquer aussi à découvrir i quelles conditions un genre géométrique donné peut der rectiligne, suivant les relations que cette prescription jssaire imposera encore après avoir facultativement annulé ; des termes distincts en z, en vertu de la disponibilité des i paramètres. Pour caractériser nettement cette élaboration ytique par un exemple décisif, et néanmoins fort simple, iquons-la aux surfaces du second degré, parmi lesquelles iporte de discerner celles qui sont réglées, en déterminant leurs leur mode spécial de génération rectiligne. es calculs seraient trop compliqués et leurs résultats trop

confus, si on les opérait directement sur l'équation la plus générale de ces surfaces

ax^ + by^ + cz^ + dxy + exz + fyz + y^ + Ay + fe = 1.

Il faut donc commencer par la simplifier autant que peut le permettre le libre choix des axes rectangulaires, même quand on devrait y distinguer ainsi plusieurs types séparés, dès lors successivement appréciables. Une telle préparation suit nécessairement la même marche que dans la question analogue de géométrie plane, quant à la simplification préalable de Téquation générale des courbes du second degré, en changeant d'abord la direction des axes, afin d'opérer la séparation des variables, et déplaçant ensuite Torigine seule pour modifier les termes inférieurs. La première ti'ansformation, qui est, de part et d'autre, la plus importante et la plus délicate, introduirait ici, suivant nos formules de transposition, trois angles disponibles, qui permettraient d'annuler, en général^ les trois termes où les variables sont mêlées; ensuite, la distinction relative à l'existence ou à l'absence d'un centre conduirait aisément à diriger les simplifications complémentaires. Mais l'embarras du calcul consisterait, surtout sous le premier aspect^ à constater suffisamment que la réduction est toujours possible dans tous les cas que l'on doit avoir en vue ; ce qui exigerait, à regard des constantes angulaires, la considération d'une pénible équation finale du troisième degré. Quoique rien ne pût dispenser régulièrement d'une telle opération algébrique si on voulait réellement accomplir cette préparation en un cas particulier, on peut néanmoins éviter complètement cette lourde discussion, quand il ne s*agit, comme ici, que de constituer en général, les plus simples types analytiques propres aux diverses surfaces du second degré,, et destinés à diriger, sous un rapport quelconque, leur étude spéciale.

GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE.

cette nouvelle appréciation, il faut utiliser plus largel'on n'a coutume de le faire la notion générale des es propres à ces surraces, en s'aidant, d'ailleurs, des sances acquises sur les courbes correspondantes. L'ap- 1 directe de notre seconde méthode des diamètres ferait ttre, envers les surfaces quelconques du second degré, ttement qu'à l'égard des courbes de ce genre, la nature ne de tous leurs diamètres. Hais la même considération s a déjà dispensés de ce calcul en géométrie plane peut !nt nous l'épargner ici, en réfléchissant que le diamètre atement résulté de l'équation complète ci-dessus rapeu y dégageant l'une des variables, est évidemment un r, ce lieu se rapportant à des cordes qui, au fond, sont res envers la surface, vu l'entière généralité de l'équaposée quant aux situations, il s'ensuit pareillement, de 1, que tous les diamètres sont nécessairement plans ites lessurfacesdu second degré. 11 faut d'ailleurs noter Les les sections planes de ces surfaces sont des courbes le degré, que nous avons déjà reconnues être constammétriqucs soit en un seul sens, soit en deux rectanguela posé, on doitd'abord distinguer deux cas, suivant : sections n'admettraient jamais qu'un axe unique, ou pourraient aussi en comporter deux, c'est-à-dire selon seraient ou non susceptibles de centre. Si la surface e ne pouvait fournir que des coupes paraboliques, en y rant une certaine série parallèle de ces sections, le lieu < axes, nécessairement parallèles entre eux, formerait diamétral autour duquel la surface se trouverait syméluisqu'il serait partout perpendiculaire aux cordes corantes,si la direction des coupes était convenablement : dans ce premier cas, essentiellement exceptionnel, la l'est symétrique qu'en un seul sens, comme tes courbes

qui la composent exclusivement. Quand les sections peuvent aussi devenir elliptiques ou hyperboliques, ce qui doit évidemment constituer le type normal, qu'il faut ici avoir seul en vue, une pareille série parallèle pourra fournir deux suites rectangulaires d'axes partiels, d'où pourront résulter deux plans diamétraux perpendiculaires à leurs cordes et d'ailleurs entre eux . Toutes ces surfaces sont donc symétriques autour de deux plans rectangulaires. Alnsi^ en y plaçant les plans des xz et desyz^ l'équation deviendra nécessairement

ax^ + iy' + cz^ + A2 = i, afin de ne contenir aucune puissance impaire de a; ni de y. La possibilité de séparer les variables, en faisant même disparaître deux des termes du premier degré, se trou vedèslors aisément démontrée. Quant aux simplifications ultérieures, il y faut distinguer deux cas, selon que la surface est ou non susceptible décentre. Car, pour l'un, l'origine pourra être transportée en ce centre, sur l'axe actuel des 2, de manière à écarter aussi l'unique terme du premier degré qui eût été conservé, en ramenant la surface au type

que nous emploierons alors habituellement : il prouve aussitôt que de telles surfaces sont pareillement symétriques autour du troisième plan coordonné. Si la surface n'a pas de centre, le terme kz ne pourra pas disparaître ; mais on pourra enlever le terme constant, enplaçantrorigineàlarencontredelasurface avec l'axe des z, qui seul était déjà pleinement fixé. Il importe d'ailleurs de sentir que l'absence mêmedecentre assurealors l'annulation spontanée du terme en z^, d'après le choix primitif de deux des plans coordonnés ; car, sans cela, la surface

aurait évidemment un centre, dont l'ordonnée verticale serait

k — r-. Cette circonstance analytique est parfaitement analogue

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

que nous avons expliquée envers les sections conignes, nepeut séparer les variables sans que l'un des carrés QultaDémenl éliminé, quand le lieu géométrique est risé par le défautde centre. Ainsi, cette dernière classe aces du second degré est finalement réductible au type

az* 4- ôy* = s.

ompléter celte discussionpréparatoire, il faudrait mainrevenir au cas exceptionnel, ot la surface n'étaitsyméqu'autour d'un seul plan, comme ne comportant que ipes paraboliques. En supposant l'axe des z perpendlcnce plan, l'équation deviendrait, d'après cette symétrie. b' = aaJ + 6y' + CXI/ + dy + ex + f.

. nature géométrique de ce cas exige d'abord que a ot 6 lulent spontanément, afin que les deux traces verticales iscnt être que des paraboles ; la mCme circonstance de- I ensuite indispensablequanlà c, d'après un pareil motif la trace horizontale. Dès lors, en plaçant l'origine au sur cette dernièrB trace, qui sera ainsi devenue recti- ■n aura finalement l'équation

2' ^ rfy 4 ex.

)ection, on y reconnaît aisément, d'après nos principes iix, une surface cylindrique, à base parabolique. semble delà discussion précédente conduirait donck dis- ■ trois types analytiques, 2*^ dy + ex, ax* + by^^^z, iy* + C2* = l, pour les surfaces du second degré, suil'ellcs sont symétriques en un sens unique, on en deux ctangulaires, ou enfin en trois pareillement rectangu- Mais le premier cas, ne convennut qu'au seul cylindre li que, doit iHre essentiellement écarta', soit parce qu'une [rface est déjà suffisamment connue, soit parce que son

équation peut, à la rigueur, rentrer dans le second type, en y annulant Tun des carrés. Il ne faut distinguer finalement, parmiles surfacesdu second degré, que deux classes différentes, selon qu'il existe ou non un centre. C'est uniquement à ces deux types, as?^ -f by^ + cz*=i, ax^-^ by^^=^z^ que nous devrons maintenant appliquer la méthode fondamentale destinée à caractériser les surfaces rectilignes.

Toutefois, avant d'accomplir cet examen, il convient de discuter sommairement chacune de ces deux équations définitives, afin de reconnaître d'avance, d'après la forme générale de ces surfaces, en quels cas il convientdepoursuivre une telle appréciation^ sans la compliquer inutilement par la considération des surfaces dont la nature exclut directement toute semblable génération.

Envisageons d'abord les surfaces du second degré qui ont un centre, pour discerner, d'après le type ax^ + by^ + cz'= 1, les divers cas géométriques qui peuvent y résulter des différents signes attribuables aux trois coefficients a, 6, c, dont l'un au moins doit être toujours positif. Si, en premier lieu, les deux autres le sont aussi, il est évident que la surface sera fermée et continue, chaque coordonnée y ayant une limite supérieure, sans aucunelimite inférieure : le nom d'ellipsoïde rappelle alors très-nettement que toutes lessectionsplanessontelliptiques.il est aiséde constater, d'après l'hypothèse de z constant, que cette surface peut résulter du mouvement d'une ellipse horizontale, dont le centre parcourt l'axe vertical, tandis que ses demiaxes constituent, en chaque position, les abscisses horizontales qui correspondent à une même ordonnée dans les deux traces verticales de l'ellipsoïde. Ces deux directrices, ax^-\-cz^ = iy éy*-f cz^s=l, ont toujours le même axe vertical : mais leurs axes horizontaux ne seront égaux qu'autant que la surface serait de révolution, si on supposait a^=^ b.

)2 GÉOMÉTRIE DANS L'iCSPACE.

Quand l'un des coefTicienls a, b, c, deviendra négatif, la irface as^ + by' — cz* ■= 1 se trouvera nécessairement indélie, sans cesser d'ëlre continue, puisque les valeurs de z ne iront assujetties k aucuoe resldcUon quelconque. Les deux rectrices verticales seront alors des hyperboles, ayant le finie axe non transverse, el l'ellipse génératrice pourra s'a- ■andir h l'iuRni, en partant de la situation centrale, où elle les moindres axes. On désigne cette seconde surface sous le im d'hypfrboloîde à une nappe. Elle peut encore être derévolion, lorsqu'on suppose égaux les deux coefficients positifs.

Faisons enfinl'hypolhÈse inverse, oùdeux coefficients devieniut négatifs. Dans ce troisième cas, ffsc* + by' — cz' = — 1,

s valeurs de z sont assujetties à une limite inférieure

ms comporter d'ailleurs aucune limite supérieure ; en sorte lela surface est illimitée, mais discontinue. L'axe vertical mmun des deux hyperboles directrices est alors leur aie ansverse, et le mouvement de l'ellipse génératrice est intermpu entre leurs sommets. C'est pourquoi le lieu, qui serait icore de révolution si onégalaitlcsdcuxcoefncientsdemSme gne, est qualiOé à'kyperboloïde à deux nappes. Les deux hyperboloîdes sont les seules surfaces du second igré sur chacune desquelles on puisse indifféremment tracer :s paraboles, des ellipses, ou des hyperboles, suivantladirec- )n du plan coupant : leur forme générale dispense, à cet ard, de toute appréciation analytique. On peut rapporter \ acun d'eux le cas du cône, elliptique ou hyperbolique, où quationdevienthomogëneparrannulationdutermecoDstanl, . sorte que le centre se place excepUonnellement sur la sut- Ee, dont il constitue alors le sommet proprement dit. Considérons maintenant les surfaces dépourvues de centre, iprès le type aiH 6y*"= z, qui indique naturellement deux

hypothèses géométriques, selon que les deux coefficients a et b auront le même signe ou des signes opposés. Dans le premier cas, les sections horizontales seront encore des ellipses parallèles, semblables, et ayant leurs centres sur Taxe vertical : mais le mouvement de Tellipse génératrice sera maintenant dirigé par deux traces paraboliques ayant le même axe et pareillement tournées. La surface s'étendra donc indéfiniment d'un côté du plan des jry, sans pouvoir pénétrer de l'autre côté : elle a reçu le nom de paraboloîde elliptique^ destiné surtout à rappeler que ses sections planes, toujours elliptiques ou paraboliques, ne sauraient jamais devenir hyperboliques. Quandlesdeux termes du second degréont des signes opposés, les deux traces paraboliques sont alors tournées en sens contraire, et l'eUipse génératrice se transforme en une hyperbole, dont le demi-axe transverse, toujours indiqué par la rencontre de l'une de ces paraboles directrices, est parallèle à l'un ou à l'autre des deux axes horizontaux, selon que le plan de cette hyperbole horizontale est au-dessus ou au-dessous du plan des xy^ qui coupe la surface selon deux droites remarquables, parallèles aux asymptotes de ces deux séries de sections hyperboliques semblables. Pour mieux caractériser cette dernière surface, la plus difficile à bien voir parmi toutes celles du second degré, il convient d'y considérer lanature générale des sections planes, d'après la méthode du n^" 145. Or, on trouve aisément que la constante composée qui distingue analytiquement les trois courbes du second degré est ici — Aab cos'O; en sorte que, a et 6 étant de signe contraire, la section ne peut jamais être elliptique, et se trouve ordinairement hyperbolique, sauf le cas parabolique correspondant à tout plan vertical. Tel est le principal motif delà dénomination de paraboloîde hyperbolique affectée à cette surface, qui évidemment ne sera jamais de révolution, tandis que l'autre paraboloîde en est susceptible.

. Après cette discuesion préliminaire, nous pouvons aiscdiscerner, parmi les cioq surfaces du secoud degré, qui comportent une génération rectiligne. Comme toute e réglée doit Être à la fois illimitée en tout sens et conil est clair que l'hyperboloîde à une nappe et le parabolyperbolique doivent seulsëtre soumis icià un tel examen jque, qui d'ailleurs conflrmerail envers les trois autres le évidente exclusion géométrique.

ir la première de ces deux surfaces, la substitution presx = mz + t, y = nz + é, dans l'équation

ax' + by^ — es' = 1, ira aux conditions d'identité am' + ôn'^c, ama-)-irt6 = 0, aa*-}- 66'='1. it à déterminer les trois paramètres a, b, a, relalivement li y restera arbitraire, suivant la règle fondamentale. se réduit donc à examiner si ces trois formules, qui ne ent évidemment devenir réelles envers l'ellipsoïde ou rbololde discontinu, le seront toujours à l'égard de rbololde continu. Or, l'appréciation géométrique des trois ioDs précédentes ne laisse, à ce sujet, aucune incertitude, îile en même temps le mode de génération. Car, la troirelalion sera d'abord satisfaite, aussi t6l qu'on fera glisser oratrice sur l'ellipse qui constitue la trace horizontale de ace. En comparant le coefllcient angulaire de la tangente ) ellipse avec celui de la projection horizontale de la , il est aisé de constater que la seconde condition oblige jection horizontale de la génératrice à toucher coaslamcette courbe. Quant à la première relation, qui n'est re les deux coefficients angulaires, son interprétalion trique sera plus claire en l'établissant entre l'un d'eux et licient linéaire correspondant, à l'aide des deux autres

conditions. On parviendra ainsi à reconnaître aisément que chaque projection verticale de la génératrice doit être tangente à la trace respective de la surface. L'ensemble de ces conditions étant réalisable, Thyperboloïde à une nappe est donc une surface réglée, engendrée par une droite qui glisse sur Tellipse horizontale, tandis que ses diverses projections touchât sans cesse les traces correspondantes de Thyperboloîde. Comme ces tangentes sont menées d'un point extérieur à Tégard des traces verticales, chaque projection horizontale de la génératrice peut se combiner avec deux projections verticales distinctes, ce qui indique, enchaquepointdeTelIipse directrice, deux génératrices symétriquement placées, et par suite un double système de génération rectiligne. Une génératrice quelconque de l'un des deux modes devant rencontrer toutes celles de Tautre, on pourrait donc diriger aussi le mouvement de la génératrice en l'assujettissant A glisser toujours sur trois droites fixes, conformément à une définition précédemment examinée.

Considérons, en second lieu, le paraboloîde hyperbolique, ax^ — by^^=^z. La même substitution y conduira aux trois conditions

am^ = 6n^, Samot — 26n6 = 1 , aa^ =» 66a^

dont la dernière indique encore que la génératrice doit glisser sur la trace horizontale de la surface, maintenant composée de deux droites, symétriquement disposées autour des axes coordonnés. On aperçoit, sans plus d'embarras, le sens géométrique de la première, qui, assignant une direction constante à la projection horizontale de la génératrice, assujettit celle-ci à rester parallèle au plan vertical passant par Tune ou l'autre de ces deux directrices horizontales ; ce qui annonce directement une double génération, où la génératrice rencontre alternativement Tune de ces traces en demeurant parallèle au plan de Tautre.Tout se réduit donc & constater si la seconde condi-

OÔQ GÉOHËTRJB DANS l'eSFACE.

tion peut èlre pareillement saQsfalte, ce qui se verra neltemenl aprfes qu'on l'aura établie entre meta, comme dans lecasprécédeQt,à l'aide des deux relations extrêmes. Car, ainsi devenue 4oma=l, elle oblige aussi la projection verticale de lagénératnceàloucbercoDstammeotla trace correspondante de la surface, dès lors rangée parmi les conoïdes.La double génération permettrait également de substituer à cette dernière condition une directrice rectiligne, arbitrairement choisie^ pour chaque mode, entre les génératrices de l'autre.

En résultat d'une telle appréciation, tvhacunedes deuxclasses de surfaces du second degré renferme donc un cas à génération rectiligne, où le lieu rêsuUe toujours du mouvement d'une droite sur deux autres droites fixes, en achevant de le déQnir, tantAt par une troisième directrice analogue, tantftt par le parallélisme à un plan donné.

167. Pour caractériser suffisamment nos principes généraux surlaformation et l'appréciation des équalion3p^opresaux8u^ faces quelconques appartenant k des groupes naturels dont le type analytique n'est pas encore connu, il convient de les appliquer aussi, mais plus sommairement, au cas le plus simple aprèscelui de la génération rectiligne, c'est-k-dire aux surfaces circulaires. Nous n'en avons considéré spécialement qu'une seule famille, la plus usuelle de toutes, celle des corps ronds proprement dits. On pourrait d'abord, en généralisant la définition de ces surfaces, composer aisément une infinité d'antres familles circulaires, dontréquationcoUectiveseraitassignable; car^ d'après une première extension, on pourrait concevoir le cercle générateur, toujours assujetti au parallélisme, mais sansqueson plan fût perpendiculaire à la droite décrite par son centre; en second lieu, on pourrait surtout remplacer successivement cet axe rectiligne par un axe parabolique, hyperbolique, hélÏQOldique, etc., ou de toute autre forme quelconque :

SECOiNDE PAUTIE, ClIAPITRE SIXI.LME. ^57

chacune de ces nouvelles hypothèses produirait une famille distincte, non moins étendue que celle d'où nous sommes partis. Mais, il serait superflu de s'arrêter ici à Tappréciation spéciale d'aucun de ces cas, puisque le type analytique en serait toujours facile à former, suivant une judicieuse application des règles fondamentales du chapitre premier. Je dois donc me borner, à ce sujet, à considérer des groupes naturels dont l'équation collective soit encore inconnue. Le plus simple et le plus intéressant résulte d'un système de génération déjà signalé précédemment, où un cercle invariable se meut perpendiculairement à la courbe quelconque décrite par son centre. Ces diverses surfaces circulaires, déjà introduites, en géométrie comparée, sous les noms équivalents àe canaux, de tuyatiXy ou de tubes, comprennent évidemment une infinité de familles proprement dites, selon que le lieu du centre est une courbe plane ou cylindrique, ou conique, ou sphérique, etc. : or, c'est seulement dans le premier cas que l'analyse transcendante leur a assigné un certain type analytique, consistant en une relation entre les deux dérivées partielles de la variable dépendante, d'après une propriété caractéristique du plan tangent ; mais leur équation collective n'est jusqu'ici nullement établie, môme alors, sous forme finie, à l'aide d'une fonction arbitraire . Une tellelacunen'empècheaucunementdeformerl'équationspéciale propre à chaque cas, quand l'axe du tuyau sera donné, en procédant d'après nos principes généraux, déjà appliqués aux surfaces rectilignes. Il suffira, pour le faire convenablement sentir, d'ébaucher cette application envers l'un des exemples qui semblent d'abord les plus embarrassants, parmi ceux qui offrent quelque intérêt géométrique, en considérant le tuyau hélicoïdal. Supposons donc que le cercle générateur

t GÉOMÉTHie DANS l'BSPACE.

Il le rayon demenre constant, ait son centre toujours placé

i'hÉlicex=;mcos -r z, p=î7isin -r 2» i laquelle son plan

te contiDuellement normal. Les considérations spéciales innées au n° 138 conduiront ^séoientà former les équations la tangente k celle courbe, d'après sa projection borizontale mue et son invariable inclinaison sur l'axe du cyUndre : il a donc facile d'eu déduire l'équation du plan normal. Dès 8, en ayant d'ailleurs égard au lieu donné du centre, les latioDE de la génératrice deviendront finalement

,, = „,(^^„„^yeos-^f),

/ 2Tt \« / . 27t \* , ,

la: — picos t-y) + \V — »îsin -r- t) + (^ — v*=r*-

ne reste plus qu'à éliminer y pour obtenir l'équation de la ■face cherchée. Quoique celte éliminationsoit très-laborieuse, que le résultai en doive être fort compliqué, elle n'est pas anmoins aussi embarassante que parait l'indiquer la nature ces équations, à la fois algébriques et transcendantes envers paramëlre. Car, il suffit de substituer, dans la seconde, tpression de z — i donnée par la première, et l'on parvient ine équation purement Irigonométrïque en y, qui pourrait imir sin y ou cos y en résolvant une équation bi-carrée, de inière à obtenir enfin l'équation demandée, quesa compUcan interdit d'ailleurs de citer ici.

168. Quant à reconnaître, en sens inverse, si une surface Quée f (x, y, z) = 0 comporte une génération circulaire, il porte d'apprécier d'abord une simplification générale de h ithode fondamentale du n° 163, pour tous les cas où la irbe génératrice doit être plane. On peut, en effet, remcer alors cette marche universelle par une appréciation tptée h une telle hypothèse, el fondée sur une application

convenable de la règle destinée à déterminer les sections planes d'une surface quelconque. Ainsi, on substituera, dans Téquation proposée, les formules générales du n"^ 145, afin de comparer le résultat F (x\ y\ f, 6, c) = 0 au type plan de la courbe considérée. Cette comparaison indiquera de quelle manièreilfaut disposer des constantes <p, 6, et c relatives au plan de la section, pour qu'elle s'identifle avec cette ligne. Si une telle coïncidence peut être établie par des formules réelles de ces paramètres, il ne sera pas encore certain que la surface donnée comporte la génération proposée . Il faudra, de plus, que toutes ces conditions puissent être remplies sans que ces trois constantes soient entièrement déterminées. Tune d'elles devant rester arbitraire afin que le plan ne soit pas immobile, et puisse passer successivement aux divers points de la surface : à défaut de cette indétermination, la courbe considérée ne se placerait sur cette surface qu'en une situation fixe, et dès lors ne pourrait l'engendrer. Le plus souvent, le paramètre linéaire c demeurera indéterminé, et les deux paramètres angulaires cp et 6 auront des valeurs assignables, soit constantes, soit au moins relatives àlui, de manière à définir suffisamment le mouvement du plan. Quand la disponibilité de ces deux paramètres aura permis d'identifier complètement l'équation F {^\ P'j 9i ^1 c)=0 avec celle de la courbe plane proposée, la génération qu'il s'agissait d'apprécier sera dès lors constatée; et en même temps le mode en sera découvert, en éliminant le paramètre arbitraire c entre les diverses relations de coïncidence, ainsi transformables en conditions finales du mouvement de cette génératrice.

Cette méthode générale est surtout commode à l'égard du cercle, vu l'extrême simplicité de son type plan. Appliquonsla à l'examen de la génération circulaire des surfaces du second degré, en considérant successivement, comme envers leurgé-

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

tioD rectiUgne, celles qni ont un cenire et celles qoi en

qnent.

)ur les premières, ta substitution ci-dessus prescrite, dans

lation ax* + by* + cz* = 1, y donnera

acos*f \x'* — &isinf coBfCosOi x'î/'+asin'(pcos*8 y'* + ■isin'y I +2isinfcosfcose| +ôcos'ipcos'6 + csin'9 + 2(^f sin 9. y' + cy», — 1,

signant ici la constante linéaire du plan. Afin que la section enne circulaire, il suffit des deux conditions ordinaires

{b — a) sin f cos ç cos 6 = 0, a co8*ç + b sin* y = { a sin' f + 6 cos' nf) cos» 6 + c sin'6,

tendent à détermirier les angles 9 et 0, en laissant y arbire ; ce qui dÈjà autorise à penser que ces surfaces peuvent iffet résulter du mouvenient parallèle d'un cercle. Néaa- Ds, avant de prononcer définitivement, il faut esaminer S6 deux conditions fournissent toujoursdes valeurs réelles. dans la première, on doit d'abord écarter le facteur cod- \ib — a, qui ordinairement n'est pas nul, à moins que la Tace ne soit de révolution, auquel cas l'appréciation actuelle iendrdt évidemment superflue. Ainsi, cette condition ne t être satisfaite que par l'une des trois hypothèses ?^0, ■ 90°, 6 = 90", auxquelles correspondent respectivement, irès l'autre relation,

. Ib—a , „ . . Ib — a , . . la—c

considérant successivement tontes les suppositions possibles ersles coefficients a, b, c, il est aisé de constater que l'un

de ces trois systèmes est toujours acceptable, tandis que les deux autres ne le sont jamais. Car, pour Tellipsoïde, où ces coefBcients sont tous positifs, si on suppose, par exemple, a < ^ < c, il est clair que le second système sera seul admissible, les deux extrêmes conduisant à des valeurs imaginaires. La double valeur de tang 0 démontre que les sections circulaires, toujours parallèles à Taxe moyen de Tellipsoîde, comportent deux situations symétriques envers le plan des xy. On découvrira la loi du mouvement du cercle générateur en cherchant le lieu de son centre, dont les coordonnées mobiles x' et y' sont, d'après Téquation précédente.

ce qui donne^ envers les axes fixes, suivant les formules de transposition, les coordonnées définitives

__^c\/{b — a] ic — b) ^ aie — b)

Si Ton élimine Y entre ces équations, on voit que le centre décrit une double ligne droite contenue dans le plan xz^ et passant naturellement à Torigine, x=± - \ / 7 z : les deux

signes de son coefficient angulaire coexistent successivement avec ceux de tang 6. L'ensemble de cette discussion nous apprend donc que tout ellipsoïde peut être engendré, de deux manières diflërentes, par un cercle dont le centre parcourt une droite perpendiculaire à Taxe moyen de cette surface, mais oblique aux deux autres, tandis que son plan se déplace parallèlement à ce même axe, en conservant une direction invariable, d'ailleurs oblique au lieu du centre, à moins que l'ellipsoïde ne soit de révolution, auquel cas les deux systèmes de génération circulaire coïncident nécessairement. On trou-

GËOMfrrRIE) DANS L'eSPACB.

: des résullats essenUellement analoj rboloïdes.

surfaces du second degré qui n'oal pa animent superflu d'entreprendre une ; paraboloïde hyperbolique, que noui ec loule section elliplique. Considéron tbololde elliptique az'+ by*=z. Las ne alors l'équation

b sin* f ) x'^ + 2 (i — a) sin ç cos ç < If + é cos*«) cos* 9. y'* — y' sin fl — ons du type circulaire sont <J> — a) sin ç cos !p cos 9 = 0, + b sin* (p = (a sin' ç + * cos* ;p) c icorele Facteur constant a — b, onobti .i'ois hypothèses ? ■= 0, et cos 6 = ±:

enfin9-=90°eltangip =

eslévidemmenttoujours inadmissible ;sent pour cos 8 des valeurs réelles, oh l'autre, en sorte qu'une seule sera i ble, vu la restriction cos a < 1 . Sa di >arabolo!de elliptique cocnporle aussi 'culaires, toutes deux perpendiculairef s deux traces paraboliques de la surfàc clinées sur celui de l'autre trace. Les « cercle sont, envers les axes mobiles.

2fl V

relativement aux axes fixes.

\ ^ Ib — a 1 1 ,

en supposant a < 6. Comme les deux coordonnées horizontales sont spontanément indépendantes dey^elles annoncent directement que le centre du cercle générateur décrit une double verticale, comprise dans le plan de lamoindre trace du paraboloïde, et généralement oblique au plan de ce cercle, à moins que la surface ne fût de révolution : chacune des deux positions de ce lieu se combinera exclusivement avec la valeur correspondante de cos 6.

Toutes les surfaces du second degré, sauf le seul paraboloïde hyperbolique, peuvent donc, en résumé, se ranger, sous deux modes distincts, dans la famille de surfaces circulaires la plus rapprochée des corps ronds proprement dits, où le centre du cercle générateur parcourt une droite plus ou moins oblique & la direction invariable de son plan. Mais cette exception capitale confirme sufQsamment que, même pour ce degré, la classification empirique des surfaces algébriques d'après les degrés de leurs équations est nécessairement incompatible avec l'ensemble des comparaisons géométriques.

Dans ce chapitre complémentaire, nous avons poussé Tappréciation générale de la grande conception de Monge sur Tétude rationnelle des divers groupes géométriques aussi loin que le permettent les ressources bornées de l'analyse ordinaire, dont la portée est néanmoins, à cet égard, beaucoup plus étendue qu'on ne le suppose communément. Je regrette que la nature de ce traité élémentaire doive m'interdire d'y expliquer comment r analyse transcendante complè te e t perfectionne ces notions fondamentales, d'abord par l'introduction d'un nouveau genre de relations caractéristiques, entre les dérivées partielles delà

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GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE.

coordonnée dépendante, et surtout ensuite par la considération prépondérante des surfaces enveloppes, d'après laquelle Monge asi heureusementcondensé, autour d'un très-petit nombre d'éléments fort simples, tous les groupes géométriques imaginés jusqu'ici. Toutefois, j'espère que Tébauche systématique que je viens d'achever fera sentir à tous les bons esprits l'éminenle valeur d'une création trop peu comprise encore par la plupart des géomètres, et signalera l'importance des nouvelles voies philosophiques ainsi ouvertes au véritable esprit géométrique, qui, après avoir essentiellement épuisé la géométrie générale proprement dite, doit surtout poursuivre désormais la géométrie comparée, aujourd'hui si confusément conçue .