CHAPITRE II. LES ELEMENTS l

cos (pi ...; et cos ^i ... désignant les cosinus directeurs des segments, ou des droites sur lesquelles se trouvent leurs extrémités.

// existe un déplacement permettant de faire coïncider les deux segments.

En effet une substitution orthogonale

^'i = «t -+- Oiiy'i -f- ... arny'm

^"i = «i -H an/i -+-... a,»y\.

changera les premières équations (i) en

/lOu -H/,a,3 ... =/,ajj 4- jVij ... -f- ^ cos cp,

que Ton peut remplacer par les suivantes

y'i =y\ ^ ^ («Il ces ©1 -f- a^j ces Oj -h ...)

donc une substitution orthogonale change une droite en une autre droite, un segment en un autre segment, la distance

vVi - ^\y

est devenue 1/(3^', — y\y ... ou /, elle n'a pas changé et si l'on se donne /i ... ; et y", ... la substitution qui change x\ ... ; x\.,. en y\ ... ; y^j ... sera donnée par les formules

i cos «J/j = Ojj cos ©^ -h fljj cos «pj ..., (3) V cos t}>j = a,2 cos cpj -h a^j cos o, ...,

qui ont une inflnité de solutions, car elles sont au nombre de n et

renferment les paramètres de la substitution à faire.

Or — ^^ >> 71, excepté pour ai = 2, mais les forrpules ^3) n'en

forment que n — i distinctes comme on s'en assure en les élevant au carré et en les ajoutant, donc même dans les espaces à deux dimensions notre théorème est vrai.

Angle de deux droites. — Considérons les deux droites

(A) ic, — Y, -f.a,< ... x„ = Y„ H- a„<.

(B) xj = 8j -H h,t ... Xn=^K-\- KU

l6 LA GEOMETRIE ANALYTIQUE GENERALE

supposons

en sorte que a,, a^ ... soient les cosinus directeurs de la première droite, 6,, b^,.. ceux de la seconde. 11 est facile de voir que

(i) a^b^ -f- a^fe^ ... -h a A ^ '.

en effet

= (a,6j — 6^aJ» h- ... = S (a^^y — 6iay)2.

c'est-à-dire

1 — {a^b^ -f a^fe^^ •••)* ^ <^»

donc la formule (i) a lieu et l'on peut poser

COS0 =z a^b^ H- a^b^ ... H- û«6„.

ô est alors Vangle des deux droites. Cet angle, non seulement n*est pas déterminé à un multiple de 2 tt près, mais comme on peut changer les signes des a ou des b, on voit que deux droites forment 4 angles positifs moindres que 2 n ; mais quand les signes des a et des b sont donnés, on n*a plus à hésiter qu'entre deux valeurs de Q et même est déterminé si on convient de le prendre ^ tt.

Vangle de deux droites ne change pas quand on déplace les droites qui constituent cet angle, c'est un invariant,

En effet, si a?, ..., est un point de la droite (A), jj ... un point de (B),

flfc -^-flfe — (^1 — ï.) (yi — ^i) + (^2 — Ta) (72 -- ^2) - -^

— (^1 — ït-^Ji — ^i)^'-(^i — ït--Vt-t-$i)^4-...

Or un déplacement ne modifie ni s (x -h y — T~--i-~^)^> ^^ S (ac -}- 8 — y -\- y)2, comme il est facile de le constater.

Lorsque deux droites ont un point commun, leur angle n'est