CHAPITRE ïl. I.ES ELEMENTS

Par deux points a?', ... ac'„ et d^ ^ ... x\^, on peut faire passer une droite et une seule.

En effet par le point x\, ... x'„, on peut faire passer une infinité de droites, par exemple

et si Ton assujettit celte droite à contenir le point x'j ... x",,, on aura

ce qui détermine a, : a^ : Cg .... et en portant leurs valeurs dans (i ) on a

celte droite est unique et bien déterminée. Si l'on avait a*", = x'i, on aurait pour l'une des équations a\ = xV Les équations

expriment que les points x\ ..., x", .... x"\ ... sont sur une même droite.

Distance de deux points. — Considérons deux points x\ ... x'n et x\ ... x^f et faisons leur subir un même déplacement : en d'autres termes, posons

x'i = ai -t- any\ 4- ... ai„y'„.

x"i = oLi + aa7*i H- ... a/„v"«.

(i = I, 2 ... n\ nous aurons

x\ — x'^i == cra Vj — /i) ... H- a^, (/„ — /n). et en vertu des relations

t o si aipa^g -h a^^œ,g + ... = ^ ^ ^.

(X', - af,Y + ... (^'n - x'nY = (y\ - y\)' + ... r/,. - fnY.

on aura

l4 LA GÉOMÉTRIE ANALrPHHIE GENERALE

La fonction

que Ton appelle distanee des points x\ ...; x\ ... no change donc pas quand on effectue un déplacement ou même un retournement.

C'est ce que Ton appelle un invariant des substitutions orthogonales, c'est-à-dire une chose qui reste invariable ou invariante après une substitution.

Reprenons les équations de la droite, à savoir

a;, = Yi -f- < cos <pj. .:. Xn=^^n-^ t ces o„ ;

7i» Va ••• s^^^ ^®^ coordonnées d'un point de la droite et cos ç),, cos C'a ... sont ses cosinus directeurs, t est la dislance variable du pointa?,, x^ ..., au point fixe yj. 72 ..., car ces formules donnent

vertu

de la relation

COS^ Oj

cos* Oj

Si Ton donne à t des valeurs positives, on obtient un certain nombre infini de points situés sur ce que Ton appelle la direction positive de la droite, et ils forment ce que l'on appelle une demidroite ; les valeurs négatives de / fournissent les points situés sur la direction négative de la droite ; il n'y a rien d'absolu dans ces définitions, car en changeant les signes des cosinus directeurs, la droite reste la même et la direction positive se permute avec la direction négative.

Les points d'une droite obtenus en faisant varier ^ de /q ^ ^» forment ce que l'on appelle un segment, il est orienté de ^0 vers t^ ; il est supposé engendré par le point variable obtenu en faisant varier t de t^ k t^.

Considérons deux segments définis par les points x\ ... ; x\ ... et /, ... ; y\ ... s'ils ont même longueur, c'est-à-dire si les distances / des deux premiers points est égale à la distance des deux autres, on pourra poser

(1) x\ = X\ -h / cos Oj ... X'n = X\ H- / cos :p„,

(2) Ji = fi -+- / cos tj., ... /„ = /„ -h /ces ^n,