CHAPITRE II. LES ELEMENTS I
plus seulement un nombre, c'est la figure formée par ce» deux droites dont le point commun est le sommet de l'angle, à ce point de vue deux angles de même mesure sont des figures égales ou superposables par retournement.
En effet soient
X, = «j -h /, CCS <p,, ...
ajj == aj -f- t^ ces t|/j, ...
les équations des droites qui forment l'angle, ou comme l'on dit, les équations de ses côtés. Une substitution orthogonale changera les équations de ces droites en
aii^j H- «is Ja ••• = «Il Pi ■+- «12 Pi ••• + ^ cos'fj....
«il Ji -+- «12 Jâ ••• = «Il Pi -+- ••• ■+■ h COS ^^y ...
ou en
jj = Pj -h t^ (a^ coso, -h a,2 coso^ ...), ... Ji = Pi -+- 'a Kl costV, + aj^cosO;, ...), ...
Si ces droites sont données, p^, p^ ••» 0^008 çi -+-..., et a,, ces t|/, -f- «18 CCS 4^2 ••• sont donnés cela constitue 3n équations contenant les paramètres de la substitution qui constituent la translation, et les ^H^ ^) paramètres qui constituent la rotation. 11 y a
donc n -+- 5-iiLZZ__ / = 'î-v? J. inconnues à déterminer, le pro-
blême sera en général résoluble. Pour n = 2, il y a 6 équations
et 3 inconnues, mais ces 6 équations se réduisent à 5, en vertu de
rinyariance de la mesure de l'angle, enfin à 3 parce que
(a,, cosçi -H aigCos ©j,..)^ + («21 coso, -ha^acoscp, ...)2 -|- ... = i ; {a^^ ces 4^4 -h ...)2 h- ... = i
pour n = 3, ^^^ "^ ^' = 6 et 3fi = 9. Donc à partir des espaces à
3 dimensions, il y aura une infinité de manières de faire coincider les angles de même mesure.
Lorsque =0, on dit que les droites sont parallèles et de même sens, lorsque = it, elles sont parallèles et de sens contraire,
lorsque = - ou — , elles sont dans des directions perpendiculaires ; dans le cas ou elles se rencontrent, et sont dans des
Laurent. — La Géométrie analytique générale 2
l8 LU GÉOMÉTRIE ANAJUYTIQUB GÉNÉRALE
directions perpendiculaires, on dit qu'elles sont perpendiculaires Tune sur Tautre.
Lorsque ô = o on a
CCS* 6=1 — S (afij — biQj)^ sin* 6 = 2 {afij — b^aj)* ô = 2 {afij — biCij)* donc
ou
■ hflj — 0,
et par suite a^ = 6j, a.^ = 6, ... on ai = — 6^, a^ = — 6, .... et Ton voit que des droites parallèles ont, au signe près, les mêmes cosinus directeurs.
5. La trigonométrie. — On appelle triangle, la figure formée par trois points, les côtés d'un triangle sont les droites qui passent par deux de ces points, ou sommets dont il est formé; les côtés forment entre eux des angles qui sont les angles du triangle.
Pour achever de définir les angles, nous dirons que si A, B, C sont les sommets, les directions positives des côtés ÂB, BG, GA, seront telles que les segments AB, BG, G A sont positifs.
Soient œ^y x^,,, les coordonnées du sommet A. x',, x\ » » )) B,
a la distance de B à G, 6, celle de G à A, c, celle de A à B, soient A, B, G, les angles correspondant aux sommets A, B, G, les cosinus directeurs de BG sont
af^ — x\ x\ — x\
ceux du G A sont
Xi — x\ "6 •
ceux de AB sont
ar, — x^
