THÉORÈMES SUR LA. DRO.TE

6. — Par un point donné, on peut mener une droite perpendiculaire sur une autre et une seule.

Soient :

Xj = a, -h a^t, x, = a, + a^t ...

les équations delà droite, donnée, a;' j, x'^ ... les coordonnées du point donné, la droite

passe par le point x\, x\ ... et, par un point a, -h aj^i. ... de la droite donnée ; et si Ton choisit t^ de telle sorte que

(i) a, {x\ — a, — Cj/,) -h 02 {x\ — a, — a^t^) ... = o

elle sera perpendiculaire à la première ; cette formule détermine /j, il n'y aura donc qu'une solution, et Ton aura

/i fera connaître les points de concours des deux droites, ou h pied de la perpendiculaire.

Toutefois, ce que nous venons de dire, n*aurait plus de sens si le point donné x\, x\ ... était sur la droite donnée, les équations (i) et (2) seraient illusoires, car on aurait x\ — a, — a/, = o, ... mais alors toute droite passant par le point x\, x\ ... et ayant des coefficients angulaires 6j, h^ ... satisfaisant à la relation

(4) aj^i -h aj6j -h ... = o à savoir

(5) Xy = x\ -\- 61 u, Xj = x\ -h 6j u

sera perpendiculaire à la droite donnée. Si on tire les 6 de (5) pour les porter dans (4), on a

c'est l'équation d'un plan (d'une droite si l'espace est à 2 dimensions), qui contient toutes les perpendiculaires à la droite donnée