CHAPITRE II. — LES ELEMENTS
■en x\, x\ ... on lui donne le nom de plan perpendiculaire à la droite.
Pour évaluer la distance du point x\^ x\ ... aune droite,
(6) X, = a, -h a^i, aCj = «, -h a,/, ...
C'est-à-dire la distance d du point x\, x\ ... au pied de la perpendiculaire menée de ce point à la droite, il faudra tirer t^ de (3) ^ le porter dans (6), on aura alors
Xj = «4 4- a, [«j {x\ — a,) -h a, [x\ -• a^) ...]
€t on aura la distance (^ cherchée par la formule
ou bien
5» == S I «. — x/ -h ai [ ai(x/ — otj) 4- a, (x', — a,) ... ] .|«, ce qui peut s'écrire en supposant a*i -h a*, ... = i
ou
82 == z(«, - x/)« - [Zaixl - «.)]S ou encore
8* = 2(«, - x/)2 2a,« - [2a,<x/ - 0,^]% ou enfin
8» = 2[ai(x^— «y) — ay(Xi— -oti)]2;
6t si a*| 4- a% ... n'est pas égal à i
82 = ^ 2[ai(x^ — «y) — a/xi — ot,)]*.
Par un point donné on peut mener une parallèle à une droite donnée et une seule (Postulat d'Enclide)
En effet toutes les droites parallèles ont mêmes cosinus directeurs aj, a^ ... Un et une droite est bien déterminée quand on en
donne un point a;/, x^ ,,. et les cosinus directeurs, ses équations sont
X, = x\ -h «1^ a^a = x' % -H fl2^ •••
On peut démontrer que la perpendiculaire menée de x^\ x\ ..• sur la droite
iCj = a, -h a,^ aCj = a', -i- a^^, ...
est plus courte que toute oblique. C'est-à-dire que la perpendiculaire menée du point xî ^ xj ... à la droite est plus petite que la dislance du point Xt, x/ ... à tout point de la droite différent du pied de la perpendiculaire.
En effet la distance D, du point x/, ac/ ... à un point quelconque de la droite est donnée par la formule
D« = I.[ai — x/ + ait]\
ou si 2aj* = I
jy^ = i^-^ Z2ait (ai — x/) 4- 2(ai — a^')*.
et le second membre est minimum pour
t = I.{x/ ^ ai)ai;
et dans ce cas t définit, comme on Ta vu tout à Theure, le pied de la perpendiculaire menée de Xi\ x^ ... sur la droite.
On peut mener d'un point x'u ^t .-• un plan, et un seul, perpendiculaire à une droite,
Xj = «1 -h a^t, Xj = a. H- a^t, ...
En effet on a vu que l'équation d'un pareil plan était
(Xj — aî,')a, -h (a?2 — x^^)a^ ... = o,
x", x^ ... étant les coordonnées du point où il rencontre la droite; s'il doit passer par le point aci', x^ ... on doit avoir
{xî — x")a^ -4- {x^ — ^2*)"2 ... = o.
ce qui détermine x/ a^ -h x/ a^ ... et en éliminant par soustraction cette quantité on a l'équation demandée
Z(xi — Xi)ai = o.
