CHAPITRE II. LES ELEMENTS
Trouver les conditions pour que deux droites
ic, = a, -H a^tf ajj = «^ -4- a^t, ...
se coupent.
Pour qu'elles se coupent ou pour qu'elles aient un point commun x^, x^ ,.,, il faut et il sufQt qu'il existe des valeurs de ^ et u telles que
Œj H- a^t == Pj -h bxU, ...
ou :
a^t — b^u = pj — a,, ! «j^ — M = Ps — «2»
ou :
Pi - «i
P, — Olj h -«3
toutes ces équations se réduisent à une seule, dans un espace à trois dimensions; si l'espace est à deux dimensions, on n'a plus que deux équations dans le système (i), donc, en général deux droites dans un espace à deux dimensions c'est-à-dire situées dans un plan se rencontrent toujours à distance finie ou infinie.
On peut toujours mener une perpendiculaire commune à deux droites.
Xj =aj -h a^t, ...
^1 = Pi -+- ^»» —
En effet les coefficients directeurs d'une droite P joignant un point de (i) à un point de (2) sont
a, — Pj 4- a^t — 61U, «2 — Pa -H a^^ — M. •••
et en exprimant que cette droite P est perpendiculaire à (i) et (2) on a
2ai(ii — pi 4- ait — b^u) = o, Ui{aii — Pi 4- Oit — M) = o,
OU en appelant V l'angle des droites (i) (2)
2ai(ai — Pi) -h * — M CCS V = o,
i:6i(a, — pi) -f i ces V — u = o.
Ces formules déterminent u et / ; et par suite deux points de la droite cherchée.
Les équations (3), (4) «n posant
(5) P2 = Z(a.- - Pi + ai« — M/
peuvent s'écrire
ôP2 bP»
■^=^' âir = ^' elles expriment que la perpendiculaire commune est minima parmi toutes les droites joignant un point de (i) et un point de (2).
Dans l'espace à trois dimensions, la recherche de la perpendiculaire commune est simplifiée par le fait que la condition d'être perpendiculaire aux directions ai, a^, 03, et fc, fc, 6, détermine les coefficients directeurs Xj, \, X3, de la perpendiculaire commune car on a
XjOj -+- \a^ + \a^ = 0, Xj6j 4- Xj6j -h X363 = o,
doù
^1 =«A — Ma» ••• pour avoir la perpendiculaire demandée, il suffit d'exprimer que la droite
Cj ~~~ Aj Xa ~~" A-a
Aj A^ Aj
rencontre les deux droites données et l'on a entre les coordonnées X,, X,, X3, d'un point quelconque de la perpendiculaire commune les relations
ce sont les équations de la perpendiculaire commune.
Des équations (3) et (4) on tire
^, pj H- ait — 6j« «a — Pa -^ «2^ — h^ «»— Ps+^'a^^M
<»t comme a^\ -H a^\ 4- a^\ et b^X^ h- 6,X, -f. 6^X3 sont nuls, ces rapports donnent, (Ces V = a^b^ -f- 0,6, -h 0,6,)
2:[(ai — p«>i H- « — u CCS V] = o, £[(«,. — Pi)6i H- * CCS V — u] = o,
et ils sont égaux à
= A\ -4- x%^rx% p.
v/X^-hX\+X"%'
<in sorte que
XjP
et en éliminant / et u
«I — Pi» «1. ^ a, — p, oj. 6j
on peut remarquer que
v/X^ -^ X% 4- X«3 = sin V et que V est Tangle des deux droites. Le déterminant qui figure dans l'expression de P est le moment des deux droites.
Distance d'un point à un plan. — Soit (1) aj^i -h a^Xj ... -h OnXn + 6 =
l'équation d'un plan, x\, x\, ... les coordonnées d'un point la droite perpendiculaire au plan menée par ce point aura pour équations
et le point où elle rencontre le plan, que Ton appelle son pied, aura des coordonnées fournies par les formules (i) (2) qui donnent
aCj — x\ aca -^ ^' %iL' ^1(^1 — ^'ù "4" ^2(^8 — ^^) •"
on en tire immédiatement Xi, a;^ ... On obtient la distance des points ocj, ... et a;', ... ou la grandeur ô de la perpendiculaire en écrivant à la suite de ces rapports
ou
et Ton a
8 = dt
si 2a*i = I , le premier nombre de l'équation du plan dans lequel on remplace les coordonnées courantes par œ'j, a:', ... représente donc, au facteur près v^ïô^i, la distance du point x'i, x'^ ... au plan.
Nous laissons au lecteur le soin de prouver que la distance S est plus courte que toute oblique, ou que aix\ -^ a^x\ ... h- 6 est un minimum de 2 [xi — x'^'^ quand a^x^ -4- a^x^ ... est constant.
On appelle angle de deux plans, Tangle formé par les normales ou perpendiculaires à ces plans. Si alors Oj, a, .., et 6j, fcj ... sont les cosinus directeurs de ces plans ou des normales à ces plans a^6, 4- 0363 ... sera le cosinus de Tangle 6 de ces plans.
Quand cos d =0, les plans sont rectangulaires. Quand cosO= i, ils sont parallèles ; et on a vu que alors Oj = 6j, a^ = 6^ ... , ou si les a et les h ne sont que des coefficients directeurs
Par une droite
a?i = â, 4- ttj/, Xj = aj H- a^l . .
mener un plan perpendiculaire sur le plan
AiX, -4- ... XnXn H- B = 0.
Le plan cherché aura pour équation :
