CHAPITRE II. LES ELEMENTS 2J
s'il passe par la droite, on aura
quel que soit t, donc
A'j«j -h A'jOf, ... = o, A'ja, H- A'jaj ... == o;
s'il est perpendiculaire au plan donné
AjA'i -h AjA'j ... = o.
on a donc 3 équations pour déterminer A, : A^ : .•. B. Le problème n'est déterminé que pour l'espace à trois dimensions.
Distance de deux plans parallèles. — Deux plans parallèles sont deux plans dont l'angle est nul, deux plans parallèles ne se rencontrent pas, en effet, leurs équations, en mettant leurs cosinus directeurs (qui sont les mêmes) en évidence sont
(a) a^Xj -f- fljXj ... -H a^n H- c = o,
ils ne sauraient avoir de points communs s'ils ne coïncident pas, car si x^, Xi ,.. Xn était un point commun en retranchant leurs équations l'une de l'autre, on aurait b = 09 ce qui est absurde, si les plans ne coïncident pas.
La dislance d'un point du plan (i) au plan (2) est donnée par la formule
a^x^ -f- ... -h a^Xn -r- c, ou en observant que x^, x^ ... x^ satisfait à (i), cette distance se réduit à c — 6, elle est la même quelque soit x^ ,,. Xn, la distance d'un point de (2) à (i) serait 6 — c, la valeur absolue de 6 — c, est ce que Ton appelle la distance des deux plans parallèles (r) et (2).
Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que une même droite est coupée en parties égales par des plans parallèles équidistants.
Trouver les coordonnées d'un point qui partage une droite joignant le point Xj, oîj ... au point x\, x\ ,*. en parties proportionnelles à m et m\
La droite qui passe par 0?!, x^,,. et x\, x\ ... a pour équations
Xj = Xj 4- ?-i-^p-^ t, Xj = Xj -^ -8-:p^* t, ...
— ^— 1 — ^ , ... sont les cosinus direcleurs de la droite et / la distance
des points x,, ... ; ac'i ... £ est alors la distance des points x^^x^ ,,. et Xj, Xâ ... Si ce dernier point doit partager la droite en parties proportionnelles à m et m', il faudra que
ou
ou
alors
ou
tm' =:^ Im — inif
/ ( m -h m') = /m Im
V X i — X. m'x. -+- mx\
Xj =s Xj H î V "» = — ^^-j^ 1— '
Si m = /n', on a
bien entendu m et m' peuvent être négatifs, le point de division serait alors en dehors du segment qui joint a?!, x, ... kx\, x\ ... Si Ton cherche un point M tel que A^, Aj ... désignant des points fixes, la quantité
soit un minimum, en appelant x,i, X2i ••• les coordonnées de A,; rr,, Xj ... celles de M, cela reviendra à rendre
SfXf [{xi — Xu)^ -h (Xj — (Cii)* ...] minimum, ou à poser
Spi (xj — a-2t) = o.
CHAPITUE H. LES ELEMENTS 520
d*où Ton tire
Le point ainsi déterminé est dit le centre de gravité des masses Kp Hs ••• plfiicées en A j, A j ...
Lorsque fij = p^ ... r= i, le centre de gravité porte le nom de centre des moyennes distances des points x,j ..., x^^ ... ou de centre de gravité sans autre indication.
7. Transformation des coordonnées. — Les coordonnées d'un point x^, x^ ... x„, en définitive, sont les distances de ce point aux plans a?j = o, ar^ = o, ... ic„ = o. Considérons n plans
QniX^ -\~ QnïXi ... + an„Xn -f- 6„ = O.
les distances X,, X^ ... du point x,. ... a;„ à ces plans sont (en supposant que les a^ soient les cosinus directeurs des normales aux plans en question)
(i) < Xj, == a^^x^ 4-6,,
De ces formules on peut aussi tirer les x en fonction des X et si les plans considérés sont perpendiculaires deux à deux, les formules précédentes seront des formules représentant une substitution orthogonale en sorte que
Toute figure pouvant se représenter par une ou plusieurs équations en Xj. a?2 ... a*n, pourra également se représenter par les équations transformées en X,, X2 ... Xn. Quand on fait cela, on dit que Ton transforme les coordonnées.
Il y a plus, les a,y tout en étant les cosinus directeurs des plans Xj = o, ... X„ = pourront fort bien ne pas être les coefficients d'une susbtitution orthogonale, toute relation entre les X sera une relation entre les x et représentera une surface.
3o LA GÉOMÉTBIË ANALYTIQUE GENERALE
Mais en multipliant les X par des facteurs constants X et en posant
A. 1 ^^^ A|A.|* A. a — — AjA-a •••
une équation entre X',, X'j ... représentera encore une surface et en particulier, toute équation du premier degré représentera un plan.
Ordinairement on choisit les coefficients X de telle sorte que XiXt désigne la portion de parallèle à la droite
Xj = o, Xj = o, X„ = o,
(Equations d'où X» = o est exclu) comprise entre le point x^ ,,, Xn ou X,X, ... X„X„ et le plan X» = o. Le calcul de X ne présente aucune difficulté, nous ne nous y arrêterons pas. Le théorème des projections qui résulte des formules de la trigonométrie conduit aisément aussi à l'évaluation des quantités X^, Xj ... Xn.
8. Sur les rotations. — Supposons cij = — Cji et cu = o, les formules
(i) Vf — Xi = ca (xj H- y^) + ... Cin{xn -+- 7„),
représenteront une rotation dans l'espace à n dimensions, les plans de coordonnées sont d'ailleurs n plans rectangulaires quelconques. Si Ton veut qu'un point reprenne sa position après la rotation, il faudra supposera?, =yi, x^ = y^ ... dans les formules (i), et si elles ont des solutions, ces solutions feront connaître les points qui ne seront pas déplacés après la rotation.
Au lieu de faire x. = jp ar^ = j^ ... on peut faire y, = sa?,, y^z= sx^ ... et exprimer après coup que 5=1. Les équations (t) deviennent alors
ac^ (s — l) =ir„ {s -hi)x^ -j- r,3 (s -j- i)arj ... -f- c,„ (s -h i) Xn ou en posant
