CHAPITRE II. LES ELEMENTS 3l

ces écjuations admettent la solution x^=x^ ... =o, évidente à priorif mais elles en auront une infinité d'autres si l'on a

C|| — tt Cjj, ... Cin ^rtl» ^nî ••• ^nn *

Désignons par T le premier membre de cette équation ; pour / = o, T est nul ou positif, car un déterminant gauche est nul ou positif quand les éléments de sa diagonale principale sont nuls ;

-^ est une somme de déterminants gauches qui pour ^ = o sont

nuls ou positifs, -j.j également et ainsi de suite, donc si Ton développe T par la formule de Mac-Laurin en faisant (si n est impair) abstraction du facteur /, on aura un polynôme dont tous les coefficients seront nuls de deux en deux, et dont les autres coefficients, relatifs aux puissances paires de t seront positifs, l'équation (2) a donc une racine nulle si n est impair, et ses autres racines sont imaginaires ; alors s sera imaginaire ou égal à i, pour / = G seulement, si n est impair.

Donc, si n est impair, et seulement dans ce cas, il y aura une infinité de points, évidemment en ligne droite, passant par l'origine, que ne déplacera pas une rotation, cette droite porte le nom d*axe de la rotation.

Plaçons nous alors dans un espace à un nombre n impair de dimensions.

Les équations (i) peuvent se mettre sous la forme

yx—^i ^ 72 — ^2 ^ ^3

elles expriment que la droite D qui joint les points correspondants y 1, 3^2 ... et a?,, iCj ... est perpendiculaire au plan

(c./-4^' + c., i^» ...) X. 4- (c,/-<-^ H- ...) X. ... =0. etce plan passe par le point — ^ i -^-— ^ ... milieu de la droite D.

Enfin le plan en question passe par l'axe de rotation dont le» équations sont

^ii\ "+" Ci%^i '" = o.

Cj,Xj -h CjjXj ... = o,

ou en posant

G = ï ±C^,C^^ ... Cn

on a

ainsi qu'il est facile de voir, car

Si Ton multiplie les équations (i) par ^ — , - — ... et si on les ajoute on a

ce qui montre que les points x^ ... et y, ... correspondants sont à la même distance du plan perpendiculaire à Taxe

Xj h Xj — ... = constante.

La distance du point A, ou Xi, ... a?„ à Taxe a pour carré

celle du point B ou yj , ... y„ a pour carré

celle du point A au point B a pour carré