Espaces fermés. — Considérons une surface

j pourra être le produit de plusieurs fonctions entières ou non ; l'espace à n dimensions est partagé en deux régions par la surface f=.Q^\ savoir la région pour laquelle /est positif, et la région pour laquelle /est négatif. L'une de ces régions sera dite positive, l'autre négative. Comme /=o représente la même surface que — / = G, il suffit de changer le signe de/ pour changer le nom de ces régions. Pour éviter toute ambiguïté, il suffira de supposer que le signe de f soit déterminé une fois pour toutes en un point donné.

Considérons la région positive, ce que nous allons en dire s'ap» pliquera à la région négative ; la région positive peut se décomposer en plusieurs autres, séparées par des limites telles que dans ces limites on aou/= o ou/< o.

Si dans un espace à n dimensions, on a toujours /*> o, sans qu'aucune des variables ar, , x^ ... Xj y soit infinie, si de plus, on peut toujours passer dans cet" espacer d'un point à un autre d'une manière continue, sans que l'on ait jamais /= o, cet espace sera dit fermé. Ce sera une prison pour un être à n dimensions assujetti à rester dans l'espace à n dimensions, de tels espaces fermés existent^ ainsi la sphère

f={x, — oi,y 4- ..• (x„ - a„)« - R« = o