CHAPITRE III. MESURE DE l'ÉTENUUE DES YARIÉtÉS

décompose l'espace à n dimensions en deux régfions, dans l'une, iâ laquelle appartient le point a^, a', ... 0^» qui est le centre»/ est négatif, et cette région est fermée parce que les x y sont tous finis, et parce que, en considérant des points pour lesquels s(a; — «)»< R, on peut toujours passer de l'un à l'aure d'une manière continue, sans supposer un seul instant s (a; — a)»^ R*.

Je vais prouver une proposition qui nous sera bientôt utile, à savoir que n + i plans déterminent un espace fermé à n dimensions^ dans l'espace compléta n dimensions, et cet espace que 1 on appelle triangle dans le cas où /i = 2, tétraèdre dans le cas où n = 3, nous l'appellerons un simplex, dans l'espace à n dimensions.

Considérons n plans, se coupant au point o et que nous prendrons pour plans des coordonnées. Si Ton considère un plan quelconque ne passant pas par l'origine, on pourra toujours choisir les directions positives des axes de coordonnées, de telle sorte que réquation du nouveau plan soit

(i) ïi H-ïl... ^?«= I,

«p ... On seront les coordonnées non nulles des points où le plan rencontre les axes, et on pourra les supposer positifs. Or l'espace compris entre le plan (i) et les plans des coordonnées est limité par la surface

et les X restant positifs, on peut passer d'une manière continue d'un point à un autre de la région, définie par Tinégalité.

cj ... Xn ^^*- ... — n >o.

qui est évidemment telle qu'elle ne peut contenir un point de coordonnées infinies.

Il est évident qu'avec moins de n 4- i plans, on ne peut former aucun espace fini, au moins en géométrie Euclidienne. En sorte que si Ton peut s'exprimer ainsi en généralisant le langage ordinaire :

36 LÀ GÉOMRTBIE analytique' GÉNÉRALE

Le Simplex est le plus simple de tous les polyèdres, c'est-à-dire le plii« simple des espaces fermes que Ton puisse former avec desplans.

3. liéBTire des Variétés. — On appelle longueur d une ligne,, ou plutôt de la figure formée des points obtenus en faisant varier le paramètre tàet^k T, et que Ton appelle un arc, l'intégrale