XV

cette longueur n'aura de valeur i*" que si les coordonnés x^, ... x, considérées comme fonctions de /, ont des dérivées continues ; 2^ que si l'intégrale a un sens. bien déterminé. Il est facile de voir que la longueur de la droite

x^ = «j -+- a,f, Xg = ttj -h a^t, ...

ouaj. ûj ... sont les cosinus directeurs de la droite, comprise entre les points a,, ag ... et «^ -f- a^i, «j -f- Oa^,... est précisément /, ce que nous avons appelé la distance de ces points, car Tintégrale (i) se réduit ici à

I y/â^TTTâ^ dt = ( dl = t.

Jo Jo

La circonférence est une ligne qui peut être définie par les équations

jj^ = R cos ajj = R sin ©,

ou par l'équation unique

sa longueur sera

et comme on l'obtient toute entière en faisant varier © de o à ar,. sa longueur totale, on l'obtiendra en prenant pour limites de l'intégrale o et 2 7C, ce qui donne 2 tt R.

Si l'on refuse de considérer la notion d*aire comme une notion première, on peut cependant appeler en géométrie à deux dimen-