CHAPITRE III. MESURE DE L* ÉTENDUE DES VARIETES

-sionSy surfaces égales des figures fermées superposables ou décomposables en parties superposables, et il est facile alors de prouver que deux rectangles sont décomposables en parties égales et que les nombres de parties égales contenues dans les rectangles sont entre elles comme le produit des côtés de ces rectangles. On est •conduit ainsi à la mesure de la surface du rectangle, la mesure du parallélogramme, du triangle, des polygones, s'en déduisent rigoureusement, la mesure des aires limitées par des courbes, peut être plus difficile à concevoir, mais à l'aide du calcul intégral, on parvient à donner une définition précise de la mesure des aires, à l'aide d'une convention qui n'est qu'une traduction précise de la notion vague que nous avons à priori de Taire limitée par un' contour fermé. Le calcul intégral permet d'étendre cette notion d'âire aux surfaces courbes, nous pourrions dire quelque chose d'anâ-* logue au sujet des volumes et des mesures de toutes les autres variétés, mais toutes ces notions sont du ressort du calcul intégral sur lequel nous ne voulons pas empiéter de peur de nous laisser entraîner trop loin (*).

Quoi qu'il en soit, dans l'espace à n dimensions, l'espace limité par :». n plans rectangulaires ou parallèles deux à deux, et qui est l'analogue du rectangle et du prisme droit à base rectangulaire, •a pour mesure le produit de ses arêtes : et le simplex a pour mesure le produit de Tune de ses bases par la /i'*'"* partie de sa hauteur. Nous laissons au lecteur le soin d'en faire la démonstration. Nous lui laissons également le plaisir de généraliser la théorie de la similitude.

(') Une sera pas inutile de faire connaître un théorème découvert par un ouvrier mécanicien, très facile à démontrer, mais qu*il était difficile de deviner, an raison même de sa forme paradoxale « Tout polygone peut être découpé en un nombre fini de parties qui, convenablement assemblées, peuvent former un carré ». Ce théorème, un des plus remarquables de la géométrie n'a malheureurcment pas d'analogue pour l'espace de plus à deux dimensions.