CHAPITRE lY. INCURSION DANS LE DOMAINE CONCRET

& tel point qu'en Angleterre, on apprend sa géométrie par cœur, avec les numéros des propositions, comme on apprend chez nous le code. Et, si sur le continent on se montre moins respectueux envers l'illustre géomètre, on conserve cependant ses axiomes et ses postulats, éncHicés ou sous-entendus.

Si Ton veut se rendre un compte exact de la valeur des raison^ nements et des hypothèses qui servent de base à la géométrie classique, il faut faire abstraction des préjugés que nous devons à notre éducation et à notre atavisme. C'est là dira-t-on chose difficile, mais la lecture des pages qui précèdent^ nous met sur la voie qu'il faut suivre.

Appelons avec tous les géomètres, surface ce qui sépare un corps du reste de l'espace, ligne ce qui sépare deux portions de surface et point, ce qui sépare deux portions d'une ligne.

Concevons dans l'espace une série de surfaces ne se coupant pas et en nombre illimité, et numérotons-les de — ooà-h oo ; entre ces surfaces intercalons en de nouvelles, auxquelles nous donnerons des numéros fractionnaires, entre ces nouvelles surfaces, intercalons en encore d'autres, et ainsi de suite, de telle sorte que par tout point de l'espace passe une et une seule de nos surfaces. Imaginons enfin deux autres systèmes analogues et tels que par tout point de l'espace passent 3 surfaces, une de chaque système. Les numéros des surfaces passant par un point seront les coordonnées de ce point.

Une première hypothèse sera la possibilité de l'existence de nos trois systèmes de surfaces.

Une seconde hypothèse sera que, un véritable déplacement d'un corps est une substitution orthogonale effectuée sur ses coordonnées.

Tous les mots dont nous avons fait usage, en les empruntant à la géométrie classique, vont prendre un sens concret et nous reconstituons le travail d'Euclide.

Donc, au fond la géométrie repose sur deux postulats ou sur deux hypothèses dont la dernière est seule un peu dure à admettre. Mais elle est nécessaire; nous verrons en effet qu'en la rejeltant on ne retrouve pas le postulatum d'Euclide. Et cela tient surtout à ce que la notion de distance est intimement liée à ce postulatum.

On a. cherché en vain, et l'on cherchera toujours en vain la dé-

4o LJl géométrie ANALTTIQUE GÉNÉRALE

inonstration du postulatum d'EucIide, tant ^ue Ton n'aura pas: dé«* fini le déplacement sans changement de forme et ses invariants : la distance et Tangle.

Et maintenant^ revenons à nos définitions : Le plan étant une surface du premier degré, sa définition est celle d'une surface presque quelconque, puisque les plans a;, = constante, x^ = constante, x^ = constante, sont des surfaces arbitraires, simplement assujetties à ne pas se couper dans une même série. Il en résulte que la géométrie classique peut s*établir en appelant plan, une siir» face presque arl)itraire, et droite une ligne presque arbitraire aussi, c'est ce qui explique pourquoi les auteurs classiques arrivent aux mêmes conclusions, soit qu'ils ne définissent pas le plan et la droite, soit qu'ils en donnent des définitions dépourvues de sens. D'ailleurs en ne définissant pas la distance, ils sont obligés d'admettre le postulatum d'Euclide.

Nous verrons plus loin les conclusions auxquelles on arrive en modifiant la définition du déplacement.

La conséquence à tirer des remarques qui précèdent, n'est pas précisément qu'il faut renoncer à l'enseignement de la géométrie élémentaire, pour lui substituer la méthode exposée précédemment. Mais puisque la plupart des démonstrations et des postulats du premier et du cinquième livre n'ont en réalité aucun sens, il serait bon de renoncer à ces démonstrations et de reconnaître à la géométrie son véritable caractère qui est celui d'une science physique. Je crois qu'en supprimant les pseudo-démonstrations de l'égalité des angles droits, des angles opposés par le sommet, des cas d'égalité des triangles, etc., démonstrations qui n'ajoutent rien à l'évidence, et même, qui ne font que faire naître le doute là où il y avait évidence, je crois que l'on simplifierait l'enseignement sans nuire à ses qualités.

Et maintenant il se pose une question qui touche de près à la métaphysique. L'espace est-il fini ou infini ?

Une pareille question n'a pas de sens. Si en effet on veut demander par là s'il est possible de trouver dans l'espace deux points situés à des distances, aussi grandes que l'on veut l'un de l'autre, il faut répondre en demandant ce que l'on doit entendre par le mot distance. Quant aux coordonnées d'un point quelconque de