CHAPITRE V. — LES CONTACTS

on en déduit (si cc^, x, ... ont des dérivées) en faisant en général

X^ r= Xj -4- dXi

dXy aX|

donc a^, a, ... sont proportionnels, non seulement aux dx de la droite au point de contact, mais aussi aux dx de la ligne, les équa-. tions de la tangente en Xi, .., Xg seront donc

A| ^"^ *Z7| ^^ Aj ~^ •!/«

et la tangente est en général bien déterminée. Il n'y aura donc pas en général de droite ayant avec une ligne un contact d'ordre supérieur au premier. La tangente à une droite est évidemment celte droite elle-même. On remarquera qu'il peut exister des courbes continues sans tangentes.

Les cosinus directeurs de la tangente sont, en posant

dx'j -+- dx'j ... -4- dx*n = ds*

donnés par les expressions

dx^ dx^ dxn

~d$ * ds "' ds

2. Longueurs. — La quantité ds considérée au $ précédent porte le nom de différentielle de la longueur de Tare de courbe.' La longueur de Tare ayant pour extrémités les points a?°j, x®,, ... x\ et Xj, Xj, ... X„ est défini par la formule

I \^dx\

... ux I,

qui est la limite de la somme des petites cordes côtés d'un polygone infinitésimal ayant ses sommets sur la courbe. Pour une droite ,

dont les cosinus directeurs sont ai a^ ... on a ds* = Idx^ = la\dt == A*

44 ^^ GÉOMÉTRIE ANALTnQUE GÉNÉRALE

et l'arc s se confond avec la jongueur /. (^) 3. Plan tangent. — Considérons une surface

fl) /(Xi. Xi ... Xn) = 0,

soit a?,, ... asn un point de cette surface, en sorte que la relation (i) soit satisfaite. Une droite sera tangente en ce point à la surface, si elle passe par aîp ... Xf^et par le point op^ 4- dx^, x^ -j- dx^ ... égar lement situé sur la surface en sorte que

f{x^ -f- dx,. ajj 4- dx^ ...) = o,

qui en vertu de (i) peut s'écrire

(3) ^ dx^ H- ... -I- ^ dxn = o.

^ ' tX^ ' ^Xn

Par le point Xj, û?^ ..., il passe une infinité de tangentes à la surface, leur équation générale est

/Q\ Aj — — X| \^ —" Xg A;, -— - Xj

^ ^ 3x^1 dx^ "' (ËCn *

Xi, Xj ... désignant les coordonnées courantes, car dx^ dx^ ... sont arbitraires, à cela près qu'ils sont liés parla seule relation (2). La surface

obtenue en éliminant dx^^ dx^ ... entre (2) et (3), contient toutes les tangentes (3), c'est leur lieu, et comme elle est du premier degré^ c'est un plan. On lui donne le nom de plan tangent à la surface en x^^ x^ ...

L'existence de ce plan est soumis à plusieurs conditions, il faut d'abord, bien entendu, que la fonction / soit continue et ait des

dérivées. Il faut aussi que -^ ... -i^ ne soient pas nuls à la fois.

^ ÎXj ?Xn ^

S'il en était ainsi les équations (2) et (4) seraient illusoires, mais on aurait

(') La longueur d'un arc est un invariant du déplacement, il faudra modifier sa définition si Ton fait de la géométrie non Euclidienne.