CHAPITRE V. — LES CONTACTS J
et' le lieu des droites (3) serait la surface^
du second degré, on voit ce qui arriverait si tous les — J-^ étaient nuls à la fois, je n'insiste pas.
4. Les enveloppes. — Considérons une famille de surfaces» c'ésl-à-dire une équation de la forme
(i) /(xj, a?, ... Xn, a) = o
renfermant un paramètre a. A chaque valeur de a correspond une surface particulière, et si Ton change a en a + da, on obtient une surface inOniment voisine de la famille. Les deux surfaces (i) et
(2) /(x, ... x„, a -^ dà) = o.
se coupent suivant une variété k n — i dimensions, qui peut aussi être représentée par (i) et par
/(ar, ... a 4- da) — J{x^ ... a) = o,
OU par
si Ton élimine a entre (i) et (3), on obtient le lieu de ces variétés, que l'on appelle V Enveloppe de la famille (i).
La variété (i) (3) est une caractéristique de la famille (i).
On conçoit de même des familles de surfaces dont Téquation contiendrait 2, 3 ... paramètres. Par exemple l'équation
(4) fi^v — ^n» a. 6) = o
représente une famille à deux paramètres et trois surfaces infiniment voisines de la famille, à savoir (4) et
/(xp ... a -h da, h) = 0, /(xj, ... a, h -^ dh) = o,
se couperont suivant une variété qui pourra être représentée par
et rélimination de a et 6 fournira une surface» que nous appellerons encore une enveloppe et ainsi de suite.
Les surfaces de la famille, portent le no^i d'enveloppées.
Il peut arriver qu'une famille de surfaces soit donnée par plusieurs équations
(5) /(oj ... a, 6, c) = o, (p(a, 6, c) = o, ^{a, 6, c) = o
les paramètres étant liés entre eux, il n*est pas nécessaire d'éliminer b et c et de différentier ensuite. Il est clair que Ton peut poser
^J^ da -^ < db -\-' /- de = o, ôa 66 bc '
et éliminer a, 6, c entre (5) et le résultant
164ii) = o ô(a, 6, c)
Par exemple l'enveloppe des plans
(6) a,a:, -h ... a„x„ -t- 6 = o pour lesquels
k étant constant, s'obtiendra en différentiant ces équations ce qui donnera
x^da^ -f- x^da^ ... -4- Xndan = o,
a^da^ -h Cjcfa^ ...-+- ctrAcLn = o orn — I des quantités a sont arbitraires, il faudra donc éliminer l'un des da, égaler à zéro les coefficients des autres, ce qui donnera n — I équations qui jointes à (6) et (7) permettront d'éliminer les a. On peut aussi employer la méthode des multiplicateurs et poser
ûj -+- XXj = o ... Qn -h 'kXn = O,
éliminer , ce qui donne
