CHAPITRE V. — LES CONTACTS
et éliminer les a entre (6) (7) (8) ce qui donne l'enveloppe a? j -+- a: j ... H- ar„ = r|
L'enveloppe d'une Jamille de surfaces^ quel que soit le nombre de ses paramètres touche toutes ses enveloppées. soit, en effet
une famille de surfaces, son enveloppe est donnnée par (9) et
et Ton peut supposer que (9) représente l'enveloppe, si Ton y suppose a, b^ c tirés de (10). Cherchons les coefficients directeurs des plans tangents à l'enveloppe et k l'enveloppée en un point commun X| ... Xn. Pour l'enveloppée a, b, c sont constants et ces
coefficients sont -«^ , - - ••• Pour l'enveloppée a, 6, c étant fonc-
tions des x données par (10) les coefficients seront les dérivées /o/a/ie^
ôxi ba ôa:, ô6 ôXj ôc ex, *
c'est-à-dire en vertu de (10) -*^ , -^ ... Les plans tangents seront
donc les mêmes aux points communs c. q. f. d. Réciproquement, si la surface fixe
F(xj, Xj ... x„) = o louche quels que soient a, b, c, la surface
f(^i ... arn. a, 6, c) = o, ce sera l enveloppe de celle-ci.
Si en effet en un point commun r,, ac, ... on a
^ . ôF ___ jif . ôF
^X, ?Xj CXg * ÔXj
ce qui est nécessaire et suffisant pour que les plans tangents soient les mêmes ; on pourra toujours poser
et déterminer a, b, c (d une infinité de manières si ces paramètres sont en nombre supérieur à un) en fonction des x de telle sorte que
la formule précédente soit une identité ; alors ~J-~ sera égal à — et si Ton prend
et seulement dans ce cas, si Ton achève de déterminer les a, fc, c au moyen de deux de ces dernières équations, ce qui exprime que F = o est l'enveloppe de/= o.
Il résulte de là que toute surface est l'enveloppe de ses plans tangents ; et qu'elle est définie quand on se donne Téquation générale de ces plans.
Celte manière de définir une surface par ses plans tangents a comme nous allons voir une grande importance et nous allons entrer à ce sujet dans quelques développements.
Si Ion suppose l'équation/ = o résolue par rapport à la variable Xn et mise sous la forme
¥(x^ ... x„i) — Xn = 0, et si Ton pose
^X„ ^ IfXn
réquation du plan tangent prend la forme
ou
X„ — /)|X, ... — p„jXn i — {Xn —PiX^ ... — p,^Xn) = O.
ou en posant
(^) = a;„ — p^x, ... — /)„ia;„i,
la forme :
X„ — p^X^ ... — /)n«iX„., — e = o. Elle renferme n paramètres />j, . . . p„^^ 6 qui ne sont pas distincts, car il est facile de voir que 6 est fonction de p^ .../)„.i ; en efiet de
(6) on tire en difierentiant
(f6 = {dXn — p,dx, —p^dx^ ... — Pn-idXn-,)
