CHAPITRE V. LES CONTACTS

or la première parenthèse est nulle, car

dxn = — r dx^ ... -h -—- c?x„. i = p^dx^ ... -h Pn-iàx^-u

CX^ OXn—i

et Ton a

c?ô = — Xidpi ... — Xn-idp,,i.

ce qui exprime que est fonction des p.

Ainsi en général, le plan tangent dépend de n — i paramètres Pif ••• Pn-i' En général ces paramètres sont distincts, et Ton peut assujettir le plan tangent an — i conditions. On peut par exemple l'assujettir à passer par /i — i points fixes, mais il pent en être autrement, si par exemple on a une ou plusieurs équations de la forme

La surface alors pourra être une enveloppe de plans an — i , n — 2, ... I paramètres. Examinons ces différents cas.

5. Surfaces développables. — Supposons les paramètres p^, Pi ... /)n — 1 distincts, la surface sera l'enveloppe du plan

(l) Xn—PiX^ -^ ... pn^iXn-i — 6 = 0,

OU 6 est une fonction des p qui caractérise la surface et pour obtenir son équation, il faudra éliminer les p entre cette équation et ses dérivées

ôô 56

telle est la méthode qui permet de passer de l'équation (i) à l'équation de la surface.

Supposons maintenant qu'il existe une relation entre p^, ... pn^i à savoir

l'enveloppe du plan

(2) oc,, — piO^i ... — Xn-i^^ ^6 =

Laurent. — La Géométrie analytique générale j^

sera ce que Ton appelle une surface développable ; on Tobtiendra en éliminant les p entre (2) et ses dérivées relatives aux/)

Xn-i H- x„i

ôO,

ôO

^Pn-i ^Pn^i

En éliminant les/) qui sont au nombre de/) — 2 entre (2) et (3) on aura l'équation générale des surfaces développables. Les équations (2) (3) sont les équations d'une droite ou génératrice située sur la surface. (Si l'on différentie les équations (3) par rapport aux p on en tire des relations qui si n = 3 représentent un point situé sur deux génératrices voisines, lesquelles se rencontrent quand on néglige les termes du second ordre et les génératrices touchent une même courbe gauche).

Ainsi les surfaces développables ^ par définition, enveloppes à n — 2 paramètres sont des surfaces réglées ^ cest-d-dire engendrées par des droites mobiles, et le plan tangent est le même tout le long d'une génératrice^ car cette génératrice est caractérisée par des valeurs données des p.

Nous allons étudier les plus simples de ces surfaces.

Et d'abord signalons les plans pour lesquels p^ .., pn sont constants.

Nous rencontrons ensuite les cylindres, pour lesquels la fonction <p est du premier degré. Si Ton a

dlPi -^ a^Pî ... 4- an-iPn-i -h «n = o,

les a étant constants, il est facile de voir que cette équation peut se mettre sous la forme

K^l^n an^i) ^(a^gn an^j)

ÔX.

ÔOÎ,

^a^n — Onagg) ^(«2^/1 — ^n^i)

bx.

ÔX«

et que Ton a

(4) ^{aiX„ — GnX^, ... an^iXn — a„x„.t) = o,