INTRODUCTION

1. Définitions. — La géométrie analytique est ordinairement considérée comme un prolongement de la géométrie élémentaire, ayant pour but de montrer comment l'usage systématique de l'analyse algébrique peut faciliter la résolution des problèmes et la démonstration des théorèmes de géométrie. C'est comme on l'a dit, Tapplication de l'algèbre à la gcométrie.

Mais elle a encore un but plus élevé et éminemment philosophique, elle est pour ainsi dire à la géométrie élémentaire ce qu'est la physique mathématique h la physique expérimentale. Pour établir les vérités élémentaires de la géométrie, on est obligé de poser un grand nombre d'hypothèses (ou de postulatums) que Ton évite souvent de mettre en relief; la géométrie analytique a précisément pour but d'établir d'une façon à la fois franche et rigoureuse les propositions de la géométrie élémentaire. Elle a pour but de montrer sur quelles hypothèses nettes et fondamentales il faut s'appuyer pour y parvenir.

Je dois prévenir le lecteur que pour lire ce qui suit, il est indispensable qu'il fasse table rase de toutes les connaissances qu'il a acquises en géométrie, les mots que nous allons employer n'ayant pas le même sens qu'en géométrie, au moins au début, plus tard on verra que ce sens est seulement généralisé.

2. Remarque au sujet des fonctions circulaires. — Dans ce qui va suivre, j'appellerai sinus et cosinus d'un nombre x, réel ou

Laubent. — La Géométrie analytique générale i

imaginaire, non pas les lignes considérées en trigonométrie, mais les nombres définis par les formules

x^ — i , ^ — xV — l jc^ — l « — xv^— I

V * j ( CCS X = , sin a; = c , >

. sin X

isx = .

^ COSOT

On démontre facilement, dans tous les traités d'analyse, indépendamment de toutes considérations géométriques, et comme conséquences des formules de définition (i) que

\ cos (x -h y) = CCS X CCS y — sin x sin y, ^ ^ I sin (x -h y) = sin a; cos y -h cos x sin y,

d'où Ton conclut, en observant que en vertu de (i)

(3) sin o = o, cos o = I , la formule

(4) sin- X -h cos^ x = I .

Tout cela est bien connu, mais ce que Ton sait moins bien, c'est que à l'aide des formules (i), et sans le secours de la géométrie, on peut encore définir le nombre tc et établir la périodicité du sinus et du cosinus, nous croyons donc utile d'entrer dans quelques détails à ce sujet. On sait que des formules (i) on tire

(5) cosx= I — ^j + 1^ ....

(0) . sin X = 0* — 3 I "^ 51 •••'

qui montrent que

(7) cos X = cos ( — x), sin X = — sin ( — x).

Si l'on suppose a? = o la formule (5) donne cos x = i. Si l'on ait a? = 2, on a,

cos 2 = I > — ...