CHAPITRE I. — INTRODUCTION

^t Terreur commise en prenant

CCS 2 = I -^ - =^ -^ I • a

«st moindre que le premier terme négligé i| = § , donc cos 2 < o. L'équation cos a: = o a donc au moins une racine entre o et 2, appelons ~ la plus petite de ces racines, lea formules (2) donneront

cos ^x -f- ^j = — sin X sin -,

• / «\ . it

sin I ar -h - > = cos x sm - .

mais la formule (4) donne

Sin « - = I et sm - = di 2 a

Or pour a; < ^, cos a; qui, en vertu de (5), (6) est la dérivée de sm X est positif, sin x est croissant, comme il est nul pour o; = o, il est positif pour x = ^ donc il ne peut être égal à — i et Ion a

cos (o^ -h ^) = - sin X, sin (x -{-fj = cos x

d'où il est facile de conclure

cos {x ~i~T:)== ^ cos X, sin (x -Me) = — sin x

et Ton aurait de même

ces I j — x] = sin x, etc.

Il reste à montrer comment on peut calculer n bien que cela ne soit pas absolument nécessaire. Or les dérivées de tg x et arctgx. se déduisent facilement des formules précédentes sans avoir recours à la géométrie et on en tire

arcigic = x — y -4- ^-— ...

par les procédés connus, et Ton sait comment cette formule peut servir au calcul de n.

Ainsi en résumé, un individu n'ayant aucune notion de géométrie pourrait établir toutes les formules de la trigonométrie, abstraction faite de ses applications géométriques (théorème des projections, résolution des triangles, etc.).