CHAPITRE T. — - LEi CONTACTS

4» désigaant une (onction arbitraire. En effet (3) peut s'écrire

a^p^ — a„ a^p^ ... aj/>«-i o

a.^p^ aip^ — a„ ... «iP»-! o

Pn'i

-ou

On

un

Pi P% Pa ••• Pn-'i I

ou enfin

(«IPI

ce qui revient à

a^p^ -H ... an = o.

dans ces surfaces la normale au plan tangent est perpendiculaire à une droite fixe.

Il est clair qu'une fonction de a^Xn — a„Xj, ... est une fonction •de n — I fonctions linéaires quelconques, donc l'équation des cylindres peut aussi s'écrire

*(Xj,Xj ... X„,) = o, ,

Xj, Xg ... désignant des fonctions linéaires quelconques. Parmi les cas particuliers des cylindres, se trouvent les surfaces

*(X0 = o, *(X„Xa) = o, ...

Reprenons Téquation du plan tangent

(Xj — x^) Pj -+.... — (X;, — Xn) = o.

Si nous exprimons qu'il passe par un point fixe a^, a^ ... an, nous obtenons une relation entre les p qui est Téquation d'une développable :

(«1 — Xi)Pi -^ "' (on — i — x„t)p„ 4 — (a„ — x„) = o.

Cette équation peut se mettre sous la forme

Pl(^l— Q.) — (^« — «n) P2(^>— Q|) Pn-l(ag|~fli)

'' (Xn — anY ' (arn — fln)* "' {Xn — «n)*

Pii^i — ^i) Pi i^i — ^i) — i^n — an) Pn^ 1(3^3 —

{Xn — anf * (x„ — a^)« "•• (x„ --. a„)2

qui exprime qu'il existe une relation

entre ^* ^' , ... ou une relation homogène entre

X« Un

En effet la relation (4) peut s'écrire

|Pl(^l — «i) — (^1 — «l) ---Pn-^ 1(3^1 — ûi)

OU

Pi (^1 — «1) — (^« — «») — Pn-l(^l — «i) O Pi (^a — «â) Pn-l(a?2 — «2) O

Pi

OU encore

(rr„ — a„), o o — (x, — a^)

Pi , P2 ... Pn-i I

ou enCn

(a:„ — a;,)»-2[/)j(xj— ai)-h...-+-/>„i(ir„.i— an-i) — (a^n— an)]=o. ce qui revient à

Pi (P^i — a^) ... — (a?„ — a„) = o.

Par un changement de coordonnées Téquation finie des cônes se ramène à \\ forme

désignant une fonction homogène de n fonctions linéaires

Il est presque inutile de faire observer que tout ce qui a été dit dans ce chapitre est vrai quelque soit la nature euclidienne ou non de la géométrie considérée sauf ce qui concerne les longueurs et les angles.