SURFACES ALGÉBRIQUES

1. Résultantes. — On appelle surfaces algébriques celles dont l'équation est de la forme/= o. /désignant une fonction entière.

Considérons deux polynômes entiers en x, de degrésp^^ et p^ ^ po. à savoir /o et /j. Divisons/,, x,/ ... a;jPi~'/o P^^/i» appelons 5^0, qi ... les quotients et c^j -h c^^x^^ -f- ..., ... les restes, nous aurons

l/o — 9o/i = <?ii -+• Caïa^i ■+-

IPI • Vi

Posons

remplaçons x^ successivement par les p^ racines ai, a, •*, a^j de/ = o, et désignons par A le déterminant (de Vandermonde), en général différent de zéro (si/ = o n'a pas de racines multiples)

les équations (i) en fourniront p^^ qui expriment que /o(«.)/oW."/o(«p»)A = CAe),

(1) Ea vertu de la règle connue pour former le produit do deux détermU nafits.

OU que

or

est évidemment la condition nécessaire et suffisante pour queyjj = G et/i = G aient une solution commune. C = g est aussi cette condition.

ôC ôG Si Ton multiplie les formules (i) par ^ > ^ ••• respectivement

et si on les ajoute on trouve

donc ^ton/ donnée deux polynômes entiers en x, on pourra en général irouoer des polynômes Xq et X, tels que Von ait identiquement

^o/o ■+" ^i/i = ^^*i ®* ^^ particulier = G ou même i ,

à moins que/o = o,/t = o aient une solution commune, et alors on a identiquement

Vo -+- Vi = ^• C = G est ce que Ton appelle la résultante de/^, = o ety; = o.

Supposons que les coefficients de /o et /i renferment un paramètre Xf^ et que/o et/i soient encore de degrés po et p^ en ir^ et x^y C sera de degré /)^/), en a?j, car les éléments c^^ sont de degré />j>. A chaque racine de C = g correspondront des valeurs de

fiC,, x^ ... xf^^^ donnés par les équations

i^li -H ^21^1 -^ - % i«^^ ■" ' = O, ............

donc les équations /^^ = o,/^ = o auront p^p, solutions communes. Cette conclusion sera soumise à de nombreuses exceptions, bien entendu, si les coefficients des/ satisfont à des relations particulières ; je n'insiste pas pour le moment sur ce point.