CHAPITRE TI. -» SURPAGES ALGEBRIQUES

En général, des relations (i) on pourra éliminer

on en déduira deux relations de la forme

AiXj -h B, = \J^ ^- X, Jj, Aj^i -^ B, = \J^ H- \J^.

Aj, Bi, A^, Bi désignant des polynômes de degrés pQp^ au plus en x^ ; or il existera des polynômes en x^, u^ et u, tels que

AjUj -+- Ajiij = I ,

et alors on aura

x^ -+- BjA, -h BjAj = s multiples à^f^.fi,

ou, en appelant F {x^) un polynôme entier en x^

x^^Xf^^ = F (xq) -h s multiple de/o/j ;

j'ajoute que F^, sera, si l'on veut, de degré p^pi — i ; car on peut le remplacer par le reste de sa division par G. Donc :

Etant donnés deux polynômes entiers en x^ et oî, à savoir f^,f^ de degrés Pq et p^, tout polynôme en Xq etXi est égal à un polynôme entier en Xq seul de degré p^,p^ — i au plus, à des multiples près defo etf^.

Considérons maintenant trois polynômes entiers en Xq, xtj X2 de degrés /)o,/>i,j32, à savoir/o,yi,/j. Considérons les polynômes

on peut les mettre sous la forme suivante

[ /o = Cil + c^^x^ -+- ... Cjj^ac/ - " -h 2 mult. f^.f^,

f ^%^ " '/o = ^HLi -+- Va^i + - Vh^^»^ ' "^ ^ "^^^*- ^*'/«'

jui désignant /)j/)2, puis posant

G = 2 dr CiiCaa ... c^j^^j^,

on a, en multipliant par - — , - — ... et en ajoutant

C«2muU. /„/„/,.

Si /o = o, /, = o, y, == o ont une solution commune, on aura C = G, d'ailleurs en appelant

les solutions de/i z=:o,J^ = o, en faisant dans (2), Xi et x^ successivement égaux à ces solutions, on aura |jl* équations d'où Ton déduira

AU/o(«ii, «2O = AC, ou

n/o(«i«. «20==C. car A en général ne sera pas nul, et comme

n/o (*ii» ^2i) = o exprime que/, = o, /i = o, /; = o ont une solution commune, C = o sera la condition nécessaire et suffisante pour que ces équations aient une solution commune. Ce sera ce que Ton appelle encore la résultante de ces équations ; si C = o, la solution commune sera donnée par ce que deviennent les équations (2) ou

^11 + ^12^2 ••• H- ^ipi^i^ - ^ = o,

C = o est dé degré Pq p^ p^ en Xq, car les c^ sont des polynômes en Xq de degré jDq. A chaque racine de C = o, correspond une valeur de a?2 et une de ce,, donc les trois équations /o =0, /*, = o, /a = o, ontjDo jOj Pi solutions. De plus, on se rappelle qu'il existe des polynômes X^, Xp Xg tels que

. Vo-i-Vi-^V2 = G; .

d'ailleurs des équations (2), on tire deux équations de la forme

AjXj 4- Bj == 2 mult. /o, /, , /a, Ag^a + B^ = >: mult./,,/,,/,

et comme il existe des polynômes ai et Ug tels que AiUi -+- A^u^ = i , on en conclura

a:, = 2:mult./;./,/2-+-F(xJ