Discussion. — Considérons des équations algébriques
tout à fait générales. /o,/i .,./« désignant des polynômes de degrés p,, Pi ... jDn en Xq, Xi ... x„, appelons
Xi = «il, X^ = «21 ••• ^n = «m ;
"{XI » *"2 — "*jjta ••• »*n — ^jj. î
les solutions des équations
solutions que nous supposons au nombre de jui = pip^ ... /)«. Formons les polynômes
/o> ^nfii •'• ^n JQ
Il existe des polynômes entiers en Xq de degré fji — i égaux à ces polynômes, à des multiples de/i, . . . /, près, on peut donc poser
i/o = ^11 -^ ^12^1» -+- ••• ^ifjL^n^ "■ ' + Smult./j, ... fn, J ^n^""7o = ^lxi + Cjj^a^n4- ^..C^^Xn^^ ' + 2 mult./j, .../„.
et en faisant Xi = an, x^ = au ... x» = OLni, puis / = i, 2, .., ^ on a [i^ équations, qui montrent qu'en posant
C = 5 d: c,,c,. ... Cj,^, A = S =b a%j,a,^ ... a^^" " .
on a
^/o(*ii> «ii ••• ^ni)^ = AG, ou
ce qui prouve que G = o est la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (A) aient une solution commune. C'est leur résultante.
Cette solution quand G = o, est donnée par les équations (i) où l'on fait yi =/i .,. =f„ = o^ c'est-à-dire :
C^^'\'C^^Xn -+- ... C ^^x^^ ' =0,
^|xi"+'^lJia^ + ••• ^[iji^n
Ces équations font connaître ÏXn de la solution commune et ses puissances. Et comme Xi, x^ ... sont des fonctions de Xn, à des multiples des /près, ils seront connus quand on connaîtra x».
Les équations (2) sont en vertu de C = o, au nombre de [i — i distinctes et font bien connaître a;», a?»' ... pourvu toutefois que les mineurs de C ne soient pas tous nuls.
Si les mineurs du premier ordre de C sont tous nuls, les équations (2) se réduisent à|UL — 2; si l'on élimine x'„, x\ ... a?„^ ^ % on a une équation du second degré en aî„, qui fournit deux valeurs pour x„; il y a donc deux solutions communes aux équations (A), et l'on verrait de même que si les mineurs d'ordre k de C étaient nuls, les équations (A) auraient k -h i solutions communes.
L'équation C = o est de degré juip^ =/>o/>i ... />nen Xq les éléments Cij de C sont de degré po en Xq, à chaque solution Xq de C = o correspondra, en général, une solution de (A). A moins qu'à* une solution "de* (A) ne correspondent plusieurs solutions communes.
