CHAPITRE VI. — SURFACES ALGEBRIQUES

Cela aura lieu si les mineurs du délerminant C sont nuls jusqu'à Tordre k, mais alors il y a A -^ i solutions communes» or on a

aC bC dcij

d^C '*-. ô*C dcij dc/ii ôC d^Cij

35*0 j tCijdci^i dx^ dxQ bCij dx^ *

donc à ces k -^ i solutions communes correspondra une racine x^ d'ordre de multiplicité ft + i de G = o, la circonstance en question n'infirmera donc pas notre conclusion relative au nombre des solutions des équations (A).

Nous devons cependant envisager encore un cas remarquable, c'est celui où la quantité G serait identiquement nulle, j'entends nulle quel que soit x^\ bien que C soit nul, il peut arriver que tous ses mineurs ne soient pas identiquement nuls, mais x^ est arbitraire et à chaque valeur de Xo correspond un système de valeurs de o^j, 0^1 ••• a;„ les surfaces (A) ont alors une ligne commune, j'ajoute que si les mineurs de C sont nuls pour une valeur particulière de OÎQ, pour cette valeur particulière, il y aura deux systèmes de valeurs de a?! , x, ... Xn correspondantes, donc nos surfaces auront en commun une ligne et au moins un point commun en général situé hors de la ligne, en outre on aura en multipliant

les équations (A) respectivement par - — ♦ - — ... et en les ajoutant

une équation de la forme

(H) Xo/o -h \f, ... + Kfn = o.

quel que soit x^. Les X étant des polynômes entiers, si tous les mineurs de G étaient nuls identiquement jusqu'à l'ordre k, on aurait & + I équations distinctes de cette forme, distinctes, car les \ ne sauraient y avoir les mêmes valeurs en général, et à chaque valeur arbitraire de Xq correspondront A: + i systèmes de valeurs de

^1» X2 ••. Xn*

Enfin si tous les dj sont nuls x^^ix^, x^ ,.. Xn auront des valeurs indéterminées, on aurait fx équations de la forme (H), suivant les cas les surfaces (A) pourront avoir en commun des variétés d'un ordre quelconque inférieur à /i -h i » si Ton a affaire à de véritables surfaces.

6o LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE GÉNÉRALE

La distinction de tous ces cas où il y a indétermination, paraît difficile à faire sur les équations (i) ou (2), mais à l'aide de la théorie des déterminants fonctionnels on pourra toujours reconnaître combien parmi les fonctions/ il y en a qui sont distinctes.

3. Remarques. — La résultante des équations (A) /o = o, f^=o... fn = 0,

affecte la forme

on voit alors que son premier membre est un polynôme entier et de diegré \i.=z p^p^ -^ Pn par rapport aux coefficients de/, en général

il sera un polynôme entier de degré -- par rapport aux coefficients

Pi

de/î ; comme la condition nécessaire et suffisante pour que (A) ait une solution commune est évidemment déterminée, il faudra qu'on puisse la mettre sous une forme entière par rapport à tous les coefficients des / en multipliant ses diverses formes par les coefficients des /ne renfermant pas Xq.

Réciproquement si une fonction des coefficients desf e = o, s'an-

nule avecfg.f ..,fn, et si elle est entière et de degré -- par rap-

port aux coefficients de /, de degré ~ par rapport aux coefficients de f, ... e = o sera le résultante de (A) pourvu quelle ne contienne Xq que par les coefficients des /

Car si R = G est la résultante, 6 s'annulant avec R sera de la forme RA = o, mais elle est de même degré que R, comme elle ne contient Xo que par les coefficients de/, il faut que A soit de degré o, c*est-à-dire une constante numérique, e = o est donc bien la résultante.

Nous avons dit que /i -+- i surfaces se coupaient toujours dans Tespace à n -+- i dimensions en un nombre de points égal au produit de leurs degrés quand il n'y avait pas indétermination, pour l'exactitude du théorème il faut compter les points confondus et les points situés à l'infini. Toutefois on pourrait craindre que la limite PoPi •••/>/! que nous avons trouvée soit une limite supérieure qui ne pourrait jamais être atteinte.