CHAPITRE VI. — SURFACES ALGEBRIQUES

Cette crainte n'est pas fondée, il n'est pas difficile de montrer sur un exemple que la limite peut être atteinte. Considérons en effet des fonctions linéaires //y et soit

/o ^^ 'oroâ ••• 'opo»

/i ^^ *Ji'i2 ••• ''IPi*

Jn -— - *rii*w2 ••• 'nj>n»

les équations (A) auront pour solutions, les solutions àe^ p^p^ "Pn systèmes linéaires

dans lesquels on devra faire a = i, 2 ... />o, P = i» 2 .../),, 9= I, 2 . ../>„.

4. Théorème de Jacobi. — Considérons les n équations en x^^ x^ ... a?n des degrés />^, />2 ... pn

soit X, la résultante provenant de l'élimination de Xg, rc^ ... x», Xg la résultante provenant de l'élimination de x^, x^ ... Xn, etc \j des multiplicateurs, on aura

iXi = Xii/i -h ^12/i •..-+- ^n/n.

•. • • Xrt = ^nl/l -H ^«2/2 ..•-+- ^nnf tien différenliant on a

si Ton donne aux x des valeurs annulant les X sans annuler les /, les formules montrent que pour ces valeurs, on aura A = o, ça posant A = S dz X^ 1^2 ••• Kn- Et si l'on pose*

ô(xi ... x„)'

les formules (2) montrent que les valeurs des x qui annulent les/ donnent, en appelant

ces valeurs,

(3) A(«,,. «,, ...) D(a,,, a,i ...) = X\(ct,0 X',(V; ... X'„ (,„,)•

Soit maintenant F(aJi ... iJC/i) un polynôme entier, divisons F par Xj, soit Qi le quotient Ri le reste, divisons Ri par Xj, soit Q2 le quotient, R^ le reste, et ainsi de suite, on aura

F = QiXi + ...Q,X„H-R.

et R sera de degré pi — i en Xi, ... jo„ — i en a:„, et la formule d'interpolation de Lagrange donnera

F Qi Xi H^^Q^ ^

Xi Xj ... X„ X1X2 ... Xfi

2 FK-.«./...)

Faisons F = GA., où G est un nouveau polynôme, si Ton se rappelle que A est nul pour les valeurs qui annulent les X sans annuler les/, on aura

X,X2... X„- XTTTXn "■ "^^X^(au)X',(«20...(^i-«20...' les Q' désignant toujours des polynômes entiers. Egalons alors de part et d'autre les coefficients de ——.•.—. on voit que le coeffi-

cientde — r dans

GA

est égal à

C'est là le théorème de Jacobi, qui va nous être bientôt utile. On