CHAPITRE VI. -— 8UBFACE8 ALGEBRIQUES
peut lui donner une autre forme, en vertu de la formule (3), et écrire
Coef . de —^— dans ^ v^^ v = £ ?^ ''' "^ "' ''"? •
Xi ... Xn A1A2 ... Art l^t«li, «2t ••• «mj
\j est de degré p^p, ... p„ — pu donc A sera de degré
£(/>i...p« — p.) ou
np, ... pn-— ^Pif
D est de degré Sp, — n, donc si G est de degré inférieur au degré £pi — ^ n de D, Ga sera degré np^ ... p„ — Sp^ -h Sp^ — n — i au plus, c'est-à-dire de degré npjp, ... p„ — n au plus, il sera donc de degré inférieur à np, ... p„, de degré Xj ... X„, donc : Si G est de degré inférieur àD, on aura
mais si G est de même degré que D, cette somme sera une quantité qui pourra être une constante non nulle dépendant des termes du degré le plus élevé dans G, etc.
On a ainsi des relations entre les intersections des surfaces
Conservons les notations précédentes, et appelons, pour simplifier, F^-'^ la valeur que prend une fonction F (x^, x^ ... x„) pour acj = aijj Xj r= «2; .••> il est clair qu'il existera une infinité de fonctions /ii/,/î2i ••• telles que
(4) fi = (^1 — <flj)fiji -+-••• (^l — ^nj)fijn*
Posons alors
fiji flji-"fljn fiji fj2 .*.f2jn Jnji Jnfi • • • Jnjn
Les fonctions |y, au nombre de fx ==:pip, .., p», jouissent des propriétés suivantes :
1° Pour xi == oixij x^ = 72i ... îj sera nul, excepté si i =j\ alors on aura ^j= i.
En effet, en vertu de (4) on peut remplacer la première colonne du déterminant Bj par/t,/^ ... /*„, il s'annule donc pour xi = «!»> rcj = (X2i ... mais si xj = «i^, x^ = «gy, on a
le déterminant qui entre dans l'expression de Bj se réduit à D^-'^ et
2** On a
?i -+- ?2 ... 4- Jjj, = I ;
car, en vertu du théorème de Jacobi, ?i + ?2 -.• 5^^ ^st constant, et pour xi = «ji, Xi = «552 ..., il se réduit à £$*> = i.
S*" Soit Jo une fonction de Xj ... a?n de degré Pq, le déterminant
/l /l;l '"fijn
Jn Jnjl *•' Jnjn
est évidemment nul ; mais il est de la forme
(/o-/o^-'^)î. + Vi + - v« = o,
les X désignant des polynômes entiers etX» est de degré l,p — p, — n. Si dans cette formule on fait y = i, a ... fx et si l'on observe que ?i H- ?2 ••• == '> on a, en ajoutant
les X représentant des polynômes différents de ceux que l'on vient de considérer.
Sifo est nul avec les x, ou si la surface Jo = o passe par les intersections defi = o, ..,/„ = o on a identiquement
6* si/i./a .../n,/o sont de mêmes degrés, les X sont constants. 4** Les S, sont linéairement indépendants, on ne peut pas avoir
(:HAPltH>: VI. — SURFACES ALtiRBRlQlES
si «i ... a^^ sont des constantes, car pour a-^ = au, x^ = «gj ... il
reste aiÇ/*' ou a\ = o, donc les a sont nuls. 5*» Si donc
«1 ... /i désignent des constantes, on a «i = ^. a^ = /^ ... I1 y a en général ^ == p^ p^ ... p„ argumenlsxt'irr^^^î ... Xn"", dans lesquels «i < pi, «^ < />,, ... »„ < p„ ; en effet ces arguments sont les termes du produit
(i+Tj-f-...x»/^«-')(i4-^,-f-...x/2-')...(i-f-ar„-h...aT/--^),
et leur nombre s'obtiendra en y faisant j-, r= .r^ ... = i, ce qui donne bien/Ji/>2 ... />„. Soient o)i, w^ ... w^ ces arguments, posons
U)ii 0)12 ••• **^1UL
t02i U)22 ... CD2ji
Wjli t*^UL2 ••• ***!-'-JJ'-
Wiy désignant la valeur de w< pour x^ = fx^j,x.>^=3i.,j ,.., posons encore
Wii ... Wj ... (Uju
Cl>2t ... 0^2 .*• ^2\i-
tOjil ... w
Il ... Wjiji
dl2
do)
il est clair que Qj s'annulera en même temps que les/, sauf pour Xi = «ly, Xi = «o; î et se réduira a iî pour j?i = a,^, jî2 =r= ajy ; et Ton aura
Ul ^ iÎ2
Du reste si Ton considère le déterminant suivant, où l'on a fait
/o 1»>1 <»>2 ... Wjx
/oi wn 0)21 u)|j.i
/oji WijJi W2JJL tO{ia Laurent. — La Géométrie analytique générale
il se réduit à o, si/o ne contient pas de termes divisibles par
Xi^i, aP2^2
et alors
ou
o = Û/o — Ûi/;, ... — Ûix/oiJL,
D'ailleurs Qi = ?jQ à des multiples de /, ... /n près, si f^ est quelconque, on a
les X étant des polynômes entiers.
Il est intéressant de montrer que li* peut se calculer en fonction rationnelle des coefficients des/. Soit en effet D (xi, ... a?„) le déterminant des fonctions /et
on a
DT ï)T -
0),, lOjj
Wi2
D.Di... Dix"
Or, en vertu du théorème de Jacobi, si Ton suppose les degrés de 0(>L» (<i>2, .- Wji non décroissants, tous les termes à gauche de la diagonale principale de ce déterminant sont nuls, ceux de la diagonale principale sont fonctions des coefficients des termes des degrés les plus élevés dans les/, on peut donc poser
û2 = DiD2...Djx/f, k étant indépendant des a (*).
(1) Les quantités û, et |„ jouissent encore de cette propriété, que, si on néglige dans les calculs les multiples des/, on aura û,% = o, Û^, = a., cjb sont ce que les allemands appellent des unités complexes.
