CHAPITRE VI. SURFACES ALGEBRIQUES

5. Nombre des conditions nécessaires pour déterminer une surface. — Un polynôme du degré p à une variable, est déterminé à un facteur près, quand on se donne ses racines.

Or nous allons voir qu'en se donnant les solutions d'un système d'équations, on ne peut pas déterminer en général ces équations, ou pour parler plus clairement, on ne peut pas se donner arbitrairement les p\ pi •*. Pn solutions d'équations des degrés />!, •••/>n> ou si l'on veut, il existe des relations entre ces solu* tions.

Cherchons d'abord le nombre des coefficients d'un polynôme de degré p h n variables.

Un polynôme du degré/) à deux variables homogène

a^xJ* H- a^xP-^y -I- ,.. a^f

conlient /) h- i termes. Un polynôme homogène du degré p k 3 variables est de la forme

Af^xi' -h Aja:''-* ... -h Ap = P,

OU Af est de degré / en y et z, il contient

(p H- i)Cp -4- 3) ^ „.

I 4- 3 ... 4- p -H I = ""J—^—l^ti i termes, (*)

Un polynôme du degré /) à 4 variables est de la forme P ; mais A, est de degré / à 3 variables, il contient

etc. Un polynôme homogène de degrép à n -+- 1 variables contiendra

^P + '>-<f + "> termes.

c'est aussi le nombre des termes d'un polynôme de degré /> à n va riables non homogène. Ce nombre est aussi égal à

pi ni '

(*) En vertu de la formule 1 '- ^ ^ = •^^--J-^-^J'.-

donc une sqrface du degré p dans un espace à n dimensions dépend de

paramètres, on peut l'assujettir à passer par v points ou à toucher V plans.

On ne peut pas se donner à priori les points d'intersection des surfaces /"i = o, .../»= o. En effet le nombre des a^; est n.pijh '*'Pn' Ils sont fonctions des coefficients desy c'est-à-dire de

-^rm" -^ - ^ -771 n !

paramètres, et ce nombre de paramètres est ordinairement plus petit que Ai.p,/>2 ... pn. Il y aura donc des relations entre les a/y.

6. Théorème d'Abel. — Abel a découvert des relations différentielles entre les coordonnées des points communs aux courbes algébriques

Voici comment on peut les trouver. Supposons toujours Ju fi '" fn de degrés pi, pi ... pn respectivement, posons

ô(a;,, Xi ... x„)*

différentions les équations de ces surfaces en faisant varier non seulement les ar, mais aussi les coefficients ai, ^2, ... de la fonction Ji et soitoîi ,., Xn une solution de (i), posons

ô/*i = ^ cfa. + -*^ dùo ...

nous aurons,

ÔXi ^Xn

= -'^^dXi...^^-ndXn.

liXi * àXn