CHAPITRE II

LES ÉLÉMENTS

1. Notions générales. — On appelle point ou variété à o •dimensions, dans un espace à n dimensions, Tensemble de n quantités ic,, çc^, ..., a?» ; et ces quantités portent le nom de coordonnées •du point en question.

Si les coordonnées d'un point sont variables et fonctions d'une seule quantité, qui peut être lune d'entre elles, on dit que le point -en question décrit une ligne, ou un espace à une dimension, ou -encore une variété à une dimension.

En général, si les n coordonnées d'un point sont variables et fonctions de p paramètres distincts, on dit que le point décrit une variété ou un espace k p dimensions.

On appelle souvent surfaces les variétés k n — i dimensions, dans les espaces à n dimensions.

On appelle yî^are un ensemble de variétés à o, i, 2, ... dimensions.

On appelle intersections de deux figures, les points communs à ces deux figures, quand elles en ont.

Quand deux figures ont des points communs on dit qu'elles se -coupent ou se rencontrent en ces points, et ces points sont dits sur les figures.

Une variété à p dimensions est continue, si les n — p coordonnées fonctions des p autres considérées comme variables indépendantes, sont continues.

Une surface (variété d'ordre n — i dans un espace à n dimcn-

sions) est algébrique quand son équation est de la forme, on peut se ramener à la forme

¥ {x^ ... Xn) = o, F désignant un polynôme entier. Le degré de ce polynôme est alors le degré ou Tordre de la surface.

Les surfaces du premier ordre sont ce que Ton appelle des plans- '(des droites dans l'espace à deux dimensions).

Une variété est du premier ordre, si toutes ses éqiiatipns sont du premier degré.

n — I équations du premier degré représentent une variété à une dimension à laquelle on donne le nom de ligne droite, il est évident que les n coordonnées d'une droite peuvent, d'une infinité de manières, s'exprimer en fonction linéaire d'un paramètre variable qui sera l'une d'elles si l'on veut.

Les conventions qui précèdent permettent de condenser le langage algébrique, et aussi de lui donner une forme imagée qui le rend plus facile à retenir. Avec ces conventions, la théorie des^ équations linéaires peut se résumer ainsi :

n plans dans l'espace à n dimensions se coupent en général en un point et un seul. Si cependant le déterminant A des coefficients des coordonnées est nul^ ils ne se coupent plus, à moins que les déterminants obtenus en remplaçant une colonne de A par les termes indépendants des coordonnées soient tous nuls. Dans ce cas, les plans se coupent en une infinité de points en ligne droite, car les n équations de nos plans se réduisent à /i — i qui définissent une variété du premier degré.

Il peut arriver que les mineurs du déterminant A soient tous nuls, alors en général nos plans ne se coupent plus, à moins que certains déterminants ne soient encore nuls, les équations de nos plans ne sont plus qu'au nombre de n — - 2 distinctes et ces plans se coupent suivant une variété à 2 dimensions et ainsi de suite^ en sorte que n plans peuvent se couper suivant des variétés à o, i, 2, 3 ... et même n dimensions, c'est ce qui arrivera si toutes les équations des plans sont identiques à un facteur près.

Il convient de remarquer les surfaces qui ont pour équations 0^4 = o, Xj = o, ... a:„ = o, ce sont des plans, on les appelle plans de coordonnéeSy ils se coupent au point de coordonnées