CHAPITRE VI. SURFACES ALGEBRIQUES
Il existe des polynômes Çi. Ç2 .•• Ç(x tels que
en posant pour abréger ^ij = Oi(«ij, «2/ •••, *i/, ••• ^^i)] et si Ton observe que pour a-i = an, x^ = «21 •••• on a ^j = ^ji ; on en conclura que r^ s'annule avec les /, sauf pour Xi = «4^. ^2 = «a» ... et alors, il est égal à un. Posons 2 zh 6,1622 ... ^^yi = O, lorsque les (p sont tous nuls, 61, 6^, ... sont nuls, et les C sont nuls, à moins que e = o, or en appelant ïi, ... k[i les fonctions considérées $ 3, on a
Çl={, +F,. ^2 = 52 + F.
les F étant des sommes de multiples de/i, J2 .., fn. Les Ç sont indépendants des coefficients des <p, donc ils ne s'annulent pas avec les <p, quant aux F ils ne peuvent devenir égaux et de signes contraires aux S quand les o s'annulent, car il n'en est rien quand on prend çi =/i. ... ?n =/«» puis qu'alors ils sont nuls ou égaux à l'unité.
De là il faut conclure que e est nul, toutes les fois que les 9 sont nuls à la fois, d'ailleurs est une fonction entière de degré 11 par rapport aux coefficients de chacune des fonctions (p^ ; e = o est donc la résultante des équations «p^^ = o, o, =• o .., <p„ = o. (Voir § 3)
Si l'on pose
la résultante 6 = pourra s'ordonner par rapport aux puissances de z et l'on pourra mettre cette résultante sous la forme
on aura alors
On pourra ainsi se procurer les fonctions symétriques des solutions communes à plusieurs équations algébriques. Il résulte de là que
72 LA GEOMETRIE ANALYTIQUE GENÉKàLE
Toute fonction symétrique, entière, des solutions de plusieurs équations algébriques est une fonction rationnelle des coefficients de ces équations.
Cette méthode pour calculer les fonctions symétriques, pas plus que les méthodes d'élimination que nous avons fait connaître, n'est pratique, les calculs qu'elle exige étant fort prolixes.
Soient/p, f^ -^ fn des polynômes entiers en aîi . . . Xn de degré /) soit
ûfij, ctgj ... of,„- ; les éléments d'une solution quelconque des équations.
Posons, en appelant w, un argument quelconque dans/^ et a^ son coefficient
fk = «*i<J^i -+- •.. a^j^j -h ••• ;
en appelant />/„ w,y les valeurs de/ et to, pour 3c^ = onj, x.^ = ol^j ... on a
/o(«li ...) = fll^^^ia •••-+- «V;t -+-...;
donc
(0 -ô-. =■ ^Jifo/'o ... -f- wya/^/o^ ... 4- ....
ou simplement, en n'écrivant pas les tsrmes nuls, si a^i, a.^, ... est solution de/o = o
on a donc
ôR R
ôR
