CHAPITRE VI. -— St'RFACES ALGKBRIQIES

/o> /i ... /n ; en effet p» désignant le degré de/, on a

et si/o ... sont nuls à la fois, on en conclut, comme nous l'avons annoncé, pour les valeurs des x qui annulent les/

Il y a plus, si Ton suppose p^ = p, ... = p„, on aura pour les valeurs des n qui annulent les/

j>A ôA i>A

En effet :

des équations (i) on tire alors

et en différentiant

^r ^ ôA ,, ô/^ ?>A

i>ri " «--^ ôari /ô/\ ■ ''-fxi

UxJ

or sl/o,/i •.. sont nuls, A est nul; et Ton a

ou en vertu des relations connues entre un déterminant et ses mineurs

~=0. cq.f.d.

0. Soliitionii multiples. — Considérons n surfaces rapportées à des coordonnées homogènes Xq ... x^

/^{Xq, Xi ... a:„) = o, fi = o .../„ = o.

Si la résultante provenant de l'élimination n — i inconnues

-■ ... — , a des racines multiples en ~, et si à une racine multiple,

Xq Xq Xj.

correspond un seul système de valeurs des autres a?, la solution considérée sera multiple. On peut supposer que Ton fasse varier les coefficients des /infiniment peu, cette singularité ne se présentera plus et Ton rentrera dans le cas général ; mais deux ou plusieurs points d'intersection seront infiniment voisins, en ces points les dx, les d'x ... pourront être les mêmes pour toutes les surfaces f=Of qui auront alors un contact d'ordre plus ou moins élevé. On aura alors pour un même système de valeurs des dx

J- dxi H- ... •'- dxn = o,

dXi * ^Xn

Ail

^Xn

Vf tl

et pour la même raison

ô(x„. Xi ..

-'. f'^l = 0, etc.

La condition (i), si elle avait lieu pour une infinité de valeurs des X, exprimerait que les/^= o ont en commun une variété à une dimension au moins. Si elle avait lieu identiquement, où sait que les fonctions /seraient reliées entre elles par une relation.

10. Démonstration d'un Lemme. — Si deux équations algébriques

f(xi, .,. Xn) = 6 et ^(Xi, ...x„) = o représentent la même surface, c'est-à-dire sont satisfaites pour les