CHAPITRE VI. SLRFACËS ALGEBRIQUES
mêmes valeurs des x, les coefficients des mêmes arguments sont égaux à un facteur constant près.
Donnons en effet à Xi, ... Xn-i des valeurs ai ... flr„ i les équations
devront fournir pour Xu les mêmes valeurs, les coefQcients de x\,Xn,x-n*.'.àe\Toni être les mêmes à un facteur indépendant de x^ près. Or ces coefficients sont des polynômes entiers en a^, Oa ... a„.i, ils devront être égaux deux à deux au même facteur près /c, si ce facteur k est indépendant des a, ils ont leurs coefficients proportionnels et par suite /et cp ont leurs coefficients égaux au facteur A: près.
Mais k ne peut dépendre des a, sans quoi on aurait
f(Xi ... X„) =r:rz /,' (j-, ... X,, - t) ^{^i ... X„),
et il faudrait que <p = o et kf = o représentent la même surface, ce qui est absurde, car Ary ^^ o représente les points de ç rr- <> et de A: =: o.
On identifie deux équations en écrivant qu'elles ont leurs coeffkienls proportionnels.
11. Coordonnées tangentielles. — Observons maintenant que réquation du plan tangent à la surface
«u point (Xi, ... a.n peut se mettre sous la forme
et si Ton rend / homogène par l'introduction de la variable fictive c'est-à-dire
ar,-*'--h...X„--' [-«0 /- =0 ou Xi->L ,,,-^Xn -^+Xfl-«'-==rO.
Cherchons la condition pour que la surface /(xi ... x„) = o de degré m soit touchée par le plan
(1) $ia-i -f- ... ΄.T„ -h $0 = 0soit ai, «2 ... (/.n le point de contact ; on aura
et en identiQant l'équation (1) avec l'équation du plan langent en
on a
ou
En éliminant ao, ai ... a,, entre (2) et (4), on aura une relation en So, ?i ... ?« qui aura lieu, si le plan (i) touche la surface /=o, et seulement dans ce cas.
Cette équation est Yéquation tangentielle de la surface. Elle sera du degré m {m — i)"~* par rapport à Çi et aussi par rapport à |j, $3 ... Mais les Ç n'y entreront que sous forme de déterminants et n'y figureront que dans une colonne (Voir S 7, la fin).
Donc le degré de l* équation tangentielle sera m{m —^ i)»'-* par
rapport aux to et P^n" suite par rapport à tous les |. Supposons
les équations (3) pourront s'écrire
(3 bis) j- (a^o^l "*" «OlOfl ••• "^ «on^n) = ...
"olô -t- ... »„?„'
