CHAPITRE VI. SURFACES ALGEBRIQUES
de sorte que l'on pourra remplacer / («o ...) = o par
(5) ot^ïo -+- «lîi ••• -^ anE«==0
d'ailleurs (3 bis) pourront, en égalant ces rapports à — t, s'écrire
«00«0 -h -• -^ «on'n H" ^Îq = ^
*>io''o -+-•••+ fnn^n + '?n
Eliminant les a et ^ entre (5) et (6), on a l'équatton tangentielle
Si l'on suppose Îq=: t, les coordonnées tangentielles f,, ... sont les inverses des coordonnés à l'origine du plan tangent. En général on appellera coordonnées tangentielles d'un plan, les inverses des coordonnées à Torigine de ce plan. Dans ce système de coordonnées, un plan a des coordonnées et pas d'équation, un point n'a plus de coordonnées, mais il a une équation qui est du premier degré, en effet
a^Ki -f- ... a„ïn-^?o = o
exprime que le plan
ar,l, ... -h xj„ -\-i^ = o
passe par le point fixe a^ ... a„.
Quand on a l'équation tangentielle o (?, ... $„) o = d'une surface, pour avoir son équation ordinaire ou cartésienne^ il faut chercher l'enveloppe du plan
(i) aCjÇ, 4- ... x„Ç„ -H Jo = o, (?j, = i),
sachant que
Il faut donc éliminer les Ç entre cette équation (i) et
"ît" '^i — ^i ••• jc" ~~* •^'» — ^
8o LA GÉOMÉTRIE ANAf^YTIQUE GÉNÉRALE
et on peut remplacer (2) par
drù J Xo=0.
de sorte que Ton passe de l'équation tangentielle à l'équation cartésienne, comme on passe de celle dernière à la première, et il en résulte que si le degré de Téquation tangentielle est m, celui de réquation ordinaire sera m (m — i)", sorle de paradoxe que l'on explique en admettant que si Ton appelle classe d'une surface, le degré de son équation tangentielle, la surface la plus générale de sa classe, n'est pas la plus générale de son degré et vice versa.
12. Loi de dualité. — Nous avons dit qu'en coordonnées tangen* tielles, un plan était déterminé par ses coordonnées, à savoir les inverses de ses coordonnées à l'origine. Au contraire, un point est représenté par une équation du premier degré.
dont les coordonnées s'obtiennent en cherchant l'enveloppe du plan
(2) ïio?! 4- ... S„a*„ --r I =0
ou le point a,, ... a„par lequel il passe en vertu de (i).
Une équation o (îi ... ?„) = o représente l'enveloppe du plan (i), c'est réquation tangentielle d'une surface.
Deux équations entre ?i,?2 ... î„ à savoir
(3)- cp,(Ç, ...)=o, 4., (?,...?„)= o
représenteront encore une enveloppe du plan (i) qui sera une surface développable et ainsi de suite.
Supposons les équations (3) du premier degré et de la forme
«2|fl H- «22^2 ... -H <i2nin 4" «20 = ^
elles expriment que le plan (2) passe par les points ?il, ^i? . . et
«10 «jo *^'-=^ •
-^. -^* ... ou parla droite qui unit ces points, on peut donc dire «20 «20
que deux équations du premier degré, représentent une droite ...
