CHAPITRE II

LES ELEMENTS

nulles, ce point est Y origine des coordonnées, les variétés h. une dimension obtenues en prenant n — i équations parmi les équations des plans de coordonnées sont les axes des coordonnées.

2. Substitutions orthogonaleB. — Les équations suivantes où les aij sont indépendants des x et des y :

yn = «nia^i -+- a/ija^j

^nn^m

constituent ce que l'on appelle une substitution linéaire et homogène. Cette substitution est orthogonale, si Ton a quels que soient d'ailleurs i etj << /i + i :

,1 V o si i $ /.

^ I SI 1 = j.

Nous allons étudier les propriétés de ces substitutions.

1° Enpreitiier lieu^ nous résoudrons les équations (i), à cet effet nous multiplierons la première formule (i) par a,,, la seconde par a^p la suivante par a^^ ... et nous ajouterons ; nous aurons en vertu de (2), la formule suivante et ses analogues :

^1 = «iJl + ^àiy» ••• + «nlJn.

\Xj, = ai„7, H- a^wja •••-+- ^nnïti- 2"" Nous constaterons que le déterminant

A = S ih ajjttjj ... Qnn

est égal k^àz i, car son carré est :

a^u -h a^2 -H ..., ajiflai "*" ^la^ia "+" ••• «âi^'ii -»- «22^12 •••! «%i -+- aS2 -^ —

eu en vertu de ( i )

Le carré de A étant i, A = =t i .

3° La substitution (3) est orthogonale, on lui donne le nom de substitution inverse de (i). On a en effet, en laissant j fixe, n équations parmi les équations (2) qui sont du premier degré eu a, y, a^j^ a^j, ... et donnent

ôA I t à\

Or A étant égal à ih i , on a :

ôA î>A ^ o si i ^ /.

^«yi ^^jn ^ db 1 SI i =j.

donc

^ o si i $ i.

ce qui prouve que la substitution inverse est orthogonale.

4** Des équations (i) élevées au carré et ajoutées, on tire, en vertu de (2) :

5** Réciproquement si les formules (i) entraînent quels que soient

Xi, X2 ^.. Xn, la relation (4), elles constituent une substitution

orthogonale, \ Car

I y\ H-y% ••• = («'11 + «'21 '")^\ -+■ 2Kiai2 H-a2ia,,...)x,X2...;

si donc (4) a lieu identiquement, il faut que I «'11 +«%! •••--= !♦ a,,a,, -i-a^^a,, ... = o, ...

( ce qui revient à (2).

j Ce théorème pourrait servir à prouver le théorème (4) ; mais il

va nous permettre de prouver le suivant :

6° // existe des substitutions orthogonales, en nombre infini,

considérons en effet les formules

( ^1 — Jl = ^11 (^1 -+- Jl) -^ Ci2 (^2 H- Jà) ••• -+- <^in (^n -4- Jn),

( Xn—yn = Cm (x, H- y^) -h c^^ (x^ "H Ja) ••• "^ ^»n {Xn 4-:rn)où Ton a

C,j = Ch, Cii = O.