LES ESPACES HOMOGÈNES
1. Coordonnées homogènes. — Soient x», Xi ... Xn les coordonnées d'un point dans l'espace h n -k- i dimensions. Supposons que nous ne considérions que des équations homogènes, une équation homogène;
/(Xq, Xi ... Xn) = O
peut être envisagée à plusieurs points de vue :
1° On peut supposer x^ = i» cela se fait souvent, on l'a déjà vu, parce que le théorème des fonctions homogènes permet des simplifications, comme on en verra des exemples.
2° On peut supposer que a?o, Xi .,, sont les distances d'un point à des plans fixes.
3° On peut supposer que a^'o, Xi ,., sont les distances d'un plan à des points fixes.
4** Enfin on peut donner à x^y Xi ... d'autres interprétations, mais nous nous bornerons pour le moment aux deux hypothèses qui précèdent, en laissant au lecteur le soin d'explorer la mine extrêmement riche dont nous ouvrons l'entrée.
Considérons donc n -i- i fonctions linéaires de x,, ... xi de la forme
(l) P'q -h p\Xi -+- ... p'nX„ = Xf,
ou p»i .../>*n sont les cosinus directeurs des normales aux plans %i = o, les équations
Xq = o, Xi = o ... Xj = o ...
représenteront nos /i -+- i plans, et Xj. en général, sera la distance du point xi ,,. Xn 8LU plan X»- = o.
Toute équation de la forme
représentera un plan, si a^ ... a« sont des constantes, pourvu que cette formule ne soit pas une identité, ou une impossibilité, ce qui peut arriver, et en effet, elle peut s'écrire
«0 i^iP\ + ^i»P^ + Po) -^ «i (^*»P^ -^- •••) = o
ou
^- ^i («oP% -^- «iP% -+- •••) ••• -t- ^»(«oP^ ■+- •••) -^^oP^ -H ... = o elle se réduit à une absurdité si Ton a
fa^p\ -^ a,/>'i ... a„p"i =o
et à une identité, si en outre,
(3) «oP^-H ...a«P"o==o.
ce sera une absurdité si posant
on a
ôP
bp\
Il existe d'ailleurs entre les X une relation que Ton obtient en éliminant les x entre les équations (i), ce qui donne
p i...p „. Aq — p
ou
et cette formule ^ est l'identité en question. Il en résulte que
