CHAPITRE VII. LES ESPACES HOMOGÈNES
X^^ -h X*i -4-4.. est susceplible d'un minimum donné par les formules
X^dX^ -h ... Xndx„ = o
d'oii l'on lire
2. Usage den coordonnées homogènes. — En résumé, si les plans
Xq = o. ... Xn = o
Torment un simplex, dit simplex Aq référence^ toute équation entre Xq,... X„ représentera une surface, et sans nuire à la généralité, on peut toujours supposer celte équation homogène : car si elle ne l'était pas, on la rendrait homogène en multipliant ses termes de degrés inférieurs par des puissances convenables de
qui en vertu de l'équation (4) du § précédent est identiquement égale à un.
Nous poserons une fois pour toutes
et nous aurons l'id^itité fondamentale
•a^X-o -+* <JiXi ... -f- <J*„X„'= o qu'on appelle quelquefois l'équation du plan de l'infini, (*), parce
(I) Le premier membre de cette identité est à un facteur près le volume du simplex, décomposable en n + i simplex, aj^ant leur sommet commun en ^o> ^1 ••• ®^ pour bases les bases du simplex de référence.
LES ESPACES nOM(H;i!;i\ES
...; se réduit àayX.,ouà
i s X entre /'V. -^ p\oCi ... =o
[t^Q -h p\Xi ... =
•rfll
oP
«>Po
. proportionnels aux distances des sommets du • .Lieace au plan ZajXj = o. En sorte que si o^^, 8^ ... 8„ "• ' .i.! ces, le plan 2«^X^ = o peuvent aussi s'écrire
ilion met en évidence une réciprocité entre les propri-
îi et du point. Si l'on considère les $ comme donnés,
' omnie variables, l'équation (i) représente un lieu de
Il plan. Si l'on y regarde les X comme donnés et les ^
wiriables, nous pouvons regarder Téquation comme repré-
(111 point fixe par lequel passent tous les plans (i), quand
pposc
ayant des valeurs données, et les X' comme coordonnées iiites.
'l'oute relation homogène entre les & peut être censée repréil 1er une surface, en effet si l'on copsidère une équation
t't le plan
86 LA c;kométrie analytique générale
que si l*on adjoint h cette équation, celle de n — i plans, les solutions en a?,... x„, seront infinies.
Si un plan est représenté par
«0^0 H- «iXi ...-+- a„Xrt = o
son équation ordinaire sera
les coefficients de sa normale seront
«o/A ■+- «iP*i .... (hp\ + ôiPS %p\ -h aip«n ...
La condition pour que deux plans
2a,Xj == o, 2:6iXi = o soient rectangulaires sera donc
{a^p\ 4- a.pS ...) {b^p\ -h 6tp*i ...) ...
