Ofpo^ -H a,p*„ ...) (6opo„ -h 6jP

pour qu'ils soient parallèles, il faudra que

Les plans 2a,Xi = o et 2 («^ -+- <i,) X,- = o sont parallèles, car leurs équations ne diffèrent que par un terme constant.

Cherchons les distances des sommets du simplex de référence au plan.

2 «iXi = o.

Cette équation équivaut à

Sa/ {Xip\ 4- Xjip'a ...) = o

le point où se coupent les plans du simplex de référence, abstraction faite de Xy = o, est donné par

p\Xi 4- p\x^ ... 4- p\ = o,

il faut tirer a*,... a-n de là pour les porter dans

I,ai{xip\ 4- x^\ ...).

et diviser par

CHAPITUK VII. LES ESPACES HOM(M;i!;i\ES S")

or, l'expression ^Qj {x^pj^ ...) se réduit à a^X,, ou à «y(/>'o + P'>i -+-...) = « Il faut donc éliminer les x entre

/i*o -+-/>*iiPi ... =o

/)^tXt ... =

ce qui donne

donc

les Qj sont donc proportionnels aux distances des sommets du sîmplex de référence au plan Sa^X^ == o. En sorte que si 8^,, 8^ ... 8„ sont ces distances, le plan Sa^X^ = o peuvent aussi s'écrire

Celte équation met en évidence une réciprocité entre les propriétés du pian et du point. Si l'on considère les à comme donnés, et les X comme variables, l'équation (i) représente un lieu de points, un plan. Si l'on y regarde les X comme donnés et les c? comme variables, nous pouvons regarder Téquation comme repré;sentant un point Gxe par lequel passent tous les plans (i), quand on y suppose

sS^X'y = o.

les X ayant des valeurs données, et les X' comme coordonnées courantes.

Toute relation homogène entre les & peut être censée représenter une surface, en effet si l'on considère une équation

et le plan

•88 LA ^éoxÉTRIE ANALYTIQUE GENERALE

en vertu de la relation (â), le plan enveloppera une surface quî pourra être censée représentée par l'équation (2) ; pour avoir Téquation de cette enveloppe, il faudra éliminer les a entre

Xq -f 2 Xi^é = o

et les équations obtenues, en éliminant les da entre Xida, -h X„da„ = 0, -^^ da -h J- d^n = O,

X2<i3t2 -H ^nd^n = O, - ' d-i^ -\- ~i- d%n = O. Ô«2 ÔX„

a savoir

"Xj Ô2t X2 ÔX2 "* Xi ô«n'

ce qui revient à éliminer &i&2 ••• ^»i entre