CHAPITRE Vil. — LKS KSPACKS IIOMOGKNES

cause de la complication des formules, le cas général a été peu exploré, et si nous Tavons signalé c'est surtout pour faire ressortir la notion de plan deTinfini.

3. Théorème de Poinsot. — Nous allons généraliser la notion des coordonnées homogènes et nous désignerons par X^, X2 .... non plus les distances d'un point à des pls^n^ fijxes, mais ses distances normales à des surfaces fixes. Ainsi S,, S2 ... désignant des surfaces, pouvant se réduire à de simples points, nous désignerons par Xi la longueur de la normale menée du point Xi^Xi.,, Xn à la surface S*, et par Oj,, ... a„i les coordonnées du point d'incidence de cette normale : nous poserons

/(Xh X^... X0 = o;

cette équation représentera une surface à laquelle nous allons mener un plan tangent, une normale.

Si nous appelons cos a,j, cos cca ... les cosinus directeurs de la droite X» et cos y,, cos y^ ••• c^u^l de la normale à /= o, nous aurons

on a évidemment

(.) d/=-^dX, + -|<iX, + .

mais

Xi2 = (x^ — auY -t- (x^ — a^i)^ H- ..., alors

XidXi = (xi — aii)idxi — dau) H~ (0^2 — «2t) (dx-i — dosi) .... ou

(3) dXi = ^-L^L^(cfx, — dau) -h "^S^Cc/a:., - da,^ ... ;

mais dauf da^ . . . sont des déplacements efTectués sur la surface S,', -^-57—-**, ... sont les cosinus directeurs de la normale à S*, que

i)0 LA GEOMETRIE ANALYTIQUE 6ENEBALR

nous avons appelés cos aj,, cos a^i ..., donc

j Xi — an

««li— Y — -^ -+- ••• = o.

dan cos a,i -h da^ cos «jj ... = o»

et l'on a au lieu de (3)

dXi = — ^ -*da:, -f- ••.»

dXi = cos ai,i/a*i H- cos o^jcfxg 4- ... ;

(2) devient alors

d/= cv(cos «11^X1 -h cos a2ic(^2 ...) -H ..••

d'où l'on déduit 7:1- • ri" ou

IVT ^/^ î>/'

JN cos Yi = -^-- cos ail -H v cos «ig 4- ..-..

IN cos Y2 = -V- cos aai -h -v" COS «22 -h •..» ÔA4 ÔA2

Ce qui montre que la longueur N comptée sur la normale cherchée est la résultante des droites

oXj' SX2*"

comptées sur les normales X^, Xj ...

Si Xp X2 sont des distances normales du point a;,, Xi ... Oîn à des plans fixes, le plan tangent aura pour équation

Uj, W2 ... désignant les coordonnées courantes, or