CHAPITRE VII. LES ESPACES HOMOGENES

réquation du plan tangent devient alors

ôX ôX maïs -— * , — — * ... sont les coefficients du plan X. = o, etc. ;

donc U» désignant ce qui devient X,. pour a?i = «i, a?4 = U2 ... on a poqr l'équation cherchée du plan tangent

et si /est homogène en X, ... X*

m désignant le degré de Thomogénité, donc enfin

est la forme de Téquation d*un plan tangent en coordonnées homogènes. Tout ce qui précède constitue le théorème de Poinsot dont le lecteur devine les nombreuses applications : (Tracé de la normale aux coniques, etc.)

4. Théorème analogue. — A côté du théorème de Poinsot vient se placer un théorème qui a avec lui de grandes analogies et que j*ai donné dans les nouvelles annales mathématiques.

Considérons un plan mobile

(i) aiXi H- a.^^i ... -h a„x„ -+- a^ = o, (Sa* = o).

soient è^^è^ *-• ^k les distances normales de ce plan à des surfaces Sj, S2 ... pouvant se réduire à des points. {&i est la normale commune au plan (i) et à la surface Si) si Ton pose

t)2 LA GEOMETRIE ASALYnQ^E GENERALE

le plan (i) enveloppera une surface. Soient ' ' '

les coordonnées du point ou le plan (i) et la droite (?i se rencontrent ;

«li« ^U ••• «m

les coordonnées de point ou la surface S^ rencontre la droite &i; on aura

(2) Si^ = (arii — «li)* -4- {Xii — «21? -H .... et aussi

(3) oi = ai^u + a^y-n ... -f- «o.

L'enveloppe du plan (i) est donnée par

ixi dai -h ... Xndan -+- da^ = o,

en différentiant (3) on a

cloj = a^rfan'H- a.^t^i ...

-ha^iidai -h ... + t/a^;

ce qui est écrit sur la première ligne est nul, parce que le déplacement fXii ,., est normal à la direction a^^ a^ .., donc

d^i = oLiidai -h ... -f- rftto,

et la seconde équation (4) donne

^^^(ajidai -h Viida2 ... + da^) = o. .

or on a

Xida^ -h 0:2^02 ... -\' dttQ = o, a^da^ H- a2<fa2 ... = o;

éliminant rfa^ on a

S^(ai,rfa| -h «21^02 ... — Xida^ -^ x^da^ ...) = o;